Question

經(jīng)市場調(diào)查，某商品在近100天內(nèi)其銷售量和價(jià)格均是相間t的函數(shù)，且銷售量近似地滿足關(guān)系：g（t）=-

1

3

t+

109

3

（t∈N*，0＜t≤100）．在前40天內(nèi)價(jià)格為f（t）=

1

4

t+22（t∈N*，0＜t≤40）；在后60天內(nèi)價(jià)格為f（t）=-

1

2

t+52（t∈N*，40＜t≤100）．求這種商品的日銷售額的最大值（近似到1）．

Answer 1

分析：先寫出前40天內(nèi)日銷售額和后60天內(nèi)日銷售額，得出這種商品的日銷售額的函數(shù)關(guān)系式，再分別求出當(dāng)0＜t≤40且t∈N*，及當(dāng)40＜t≤100且t∈N*，此函數(shù)的最大值，綜上得出這種商品的日銷售額的最大值即可．

解答：解：前40天內(nèi)日銷售額為S=（

1

4

t+22）（-

1

3

t+

109

3

）=-

1

12

t²+

7

4

t+799

1

3

，
∴S=-

1

12

（t-10.5）²+

38809

48

．
后60天內(nèi)日銷售額為S=（-

1

2

t+52）（-

1

3

t+

109

3

）=

1

6

t2-

213

6

t+

5668

3，

∴S=

1

6

（t-106.5）²-

25

24

．
函數(shù)關(guān)系式為S=

- 1 12 (t-10.5)2+ 38809 48 (0＜t≤40，t∈N*) 1 6 (t-106.5)2- 25 24 (40＜t≤100，t∈N*)

由上式可知對(duì)于0＜t≤40且t∈N*，當(dāng)t=10或11時(shí)，S_max=809．
對(duì)于40＜t≤100且t∈N*，當(dāng)t=41時(shí)，S_max=714
綜上得，當(dāng)t=10或11時(shí)，S_max=809．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力．本題的函數(shù)模型為分段函數(shù)，求分段函數(shù)的最值，應(yīng)先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個(gè)函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為整個(gè)函數(shù)的最小值．