Question

【題目】問(wèn)題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB=12，⊙C半徑為6，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值．

（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=3，則有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．

（2）自主探索：如圖1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且PB=3，AP+PC的最小值為．

（3）拓展延伸：如圖2，扇形COD中，O為圓心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過(guò)程．

Answer 1

【答案】（1）AP+BP的最小值為3；（2）AP+PC的值最小值為5；（3）2PA+PB的最小值為，見解析.

【解析】

（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得CF=6，AF=6，由勾股定理可求AD的長(zhǎng)；

（2）在AB上截取BF=1，連接PF，PC，由，可證△ABP∽△PBF，可得PF=AP，即AP+PC=PF+PC，則當(dāng)點(diǎn)F，點(diǎn)P，點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；

（3）延長(zhǎng)OC，使CF=4，連接BF，OP，PF，過(guò)點(diǎn)F作FB⊥OD于點(diǎn)M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，則當(dāng)點(diǎn)F，點(diǎn)P，點(diǎn)B三點(diǎn)共線時(shí)，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．

解：（1）解：（1）如圖1，

連結(jié)AD，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CB于點(diǎn)F，

∵AP+BP=AP+PD，要使AP+BP最小，

∴AP+AD最小，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+AD最小，

即：AP+BP最小值為AD，

∵AC=12，AF⊥BC，∠ACB=60°

∴CF=6，AF=6

∴DF=CF-CD=6-3=3

∴AD==3

∴AP+BP的最小值為3

（2）如圖，

在AB上截取BF=1，連接PF，PC，

∵AB=9，PB=3，BF=1

∴，且∠ABP=∠ABP，

∴△ABP∽△PBF，

∴

∴PF=AP

∴AP+PC=PF+PC，

∴當(dāng)點(diǎn)F，點(diǎn)P，點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PC的值最小，

∴CF===5

∴AP+PC的值最小值為5，

（3）如圖，

延長(zhǎng)OC，使CF=4，連接BF，OP，PF，過(guò)點(diǎn)F作FB⊥OD于點(diǎn)M，

∵OC=4，FC=4，

∴FO=8，且OP=4，OA=2，

∴，且∠AOP=∠AOP

∴△AOP∽△POF

∴

∴PF=2AP

∴2PA+PB=PF+PB，

∴當(dāng)點(diǎn)F，點(diǎn)P，點(diǎn)B三點(diǎn)共線時(shí)，2AP+PB的值最小，

∵∠COD=120°，

∴∠FOM=60°，且FO=8，FM⊥OM

∴OM=4，FM=4

∴MB=OM+OB=4+3=7

∴FB==

∴2PA+PB的最小值為．