Question

如圖1，在平面直角坐標系中，已知梯形ABCD，點A、B在y軸上，點C在x軸上，AB∥CD，OA=2CD，OC=OB，tan∠A=2，梯形S_ABCD=5．
（1）求直線L的解析式；
（2）如圖2，若45°角的頂點與點A重合，一條邊交x軸于點P（-1.5，0），另一條邊交直線L于點E，將45°角繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜135°）．設(shè)OP=x，S_△PEC=S，求S與x的關(guān)系式；
（3）如圖3，在②的條件下，射線AE交直線DC于點F，連接PF，在旋轉(zhuǎn)過程中，若△PEC的面積為

3

2

，問：在x軸上是否存在點M，使P、E、M三點所構(gòu)成的三角形與△PEF相似？若存在求M點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）過D作DH⊥y軸于點H，利用梯形的面積公式即可求得CD的長，得到C，B的坐標，利用待定系數(shù)即可求得函數(shù)的解析式；
（2）分點P在x軸負半軸時，點P在線段OC上時，點P在線段OC上時，三種情況進行討論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）把S的值分別代入（2）中得到的函數(shù)解析式，利用相似三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）過D作DH⊥y軸于點H．設(shè)AH=x，
∵tanA=

DH

AH

=

DH

x

=2，
∴DH=2x，
∵OA=2CD=2OH，
∴CD=OH=x，OC=OB=2x，
∴S_梯形AOCD=

1

2

（CD+AB）•OC，即5=

1

2

（x+4x）•2x，
解得：x=1，
∴OC=OB=2x=2，
∴OC=OB=2，
∴C的坐標是（2，0），B的坐標是（0，2）．
設(shè)直線l的解析式是：y=kx+b，則

2k+b=0 b=-2

，
解得：

k=1 b=-2

，
則函數(shù)的解析式是：y=x-2；
（2）第一種情況：當點P在x軸負半軸時，連接AC，∵OA=OC=OB=2，
∴∠ACB=90°，∠OAC=45°，
∴∠ACE=∠AOP=90°，
∵∠2+∠3=45°，∠1+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△ACE∽△APO，
∴

CE

OP

=

AC

OA

=

2

，即CE=

2

OP，
過點E作EG⊥x軸，于點G．
∵OC=OB=2，
∴∠OCB=45°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴CE=

2

EG，
∴OP=EG=x，
∴S_△PEC=

1

2

PC•EG=

1

2

（x+2）•x=

1

2

x²+2x；
第二種情況：當點P在線段OC上時，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠AOP=90°，
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△AOP∽△ACE，
∴

CE

OP

=

AC

OA

=

2

，
∴CE=

2

OP，
過E作EG⊥x軸，垂直是G，可得等腰△CEG，
∴CE=

2

EG，
∴EG=OP=x，
S_△PEC=

1

2

PC•EG=

1

2

（2-x）•x=

1

2

x²+x，
第三種情況，當點P在線段OC上時
同理可得：△AOP∽△ACE，
∴

CE

OP

=

AC

OA

=

2

，
∴CE=

2

OP，
過E作x軸的垂線，垂足是G，可得等腰直角△CEG，
∴CE=

2

EG，
∴EG=OP=x，
∴S_△PEC=

1

2

PC•EG=

1

2

（x-2）•x=

1

2

x²-2x，
∴當P在x軸負半軸上，S=

1

2

x²+2x，
當P在線段OC上時，S=-

1

2

x2+x，
當P在OC延長線上時，S=

1

2

x²-2x；
（3）第一種情況，把S=

3

2

代入s=

1

2

x²+2x，解得：x₁=1，x₂=-3，（舍去），
∴OP=EG=1，設(shè)E（a，-1），
∴把y=-1代入y═x-2得：a=1，則E（1，-1），
∵A的坐標是（0，2），
∴直線AE的解析式是y=-3x+2，
∵A（0，2），
∴直線AE的解析式是：y=-3x+2，
∵OC=2，設(shè)F（2，b）代入y=-3x+2，得b=-4，
∴F（2，-4），
直角△PCF中，PC=3，CF=4，則PF=5，
過E作EN⊥PF，垂足是N，則

1

2

×3×4=

1

2

×3×1+

1

2

×4×1+

1

2

×5•EN，
解得：EN=1，
∵EG⊥PC，EN⊥PF，EG=EN=1，
∴∠PFE=∠EPC．
①當∠PEM=∠PEF時，△PEM≌△PEF，此時PM=PF=5，
∴M₁（4，0）；
當∠PME=∠PEF時，△PEM₂∽△PEM₁，
∴PE²=PM₂•PM₁，2²+1²=PM₂×5，
∴PM₂=1，
∴O與M₂重合，
∴M₂（0，0）；

第二種情況：
把S=

3

2

代入S=-

1

2

x²+x中，x²-2x+3=0，△＜0，方程無解；

第三種情況：
把S=

3

2

代入S=

1

2

x²-2x中，解得：x₁=-1（舍去），x₂=3，
∴EG=OP=3，設(shè)E（a，3）代入y=x-2得：a=5，
∴E的坐標是（5，3），
∵A（0，2），
∴直線AE的解析式是：y=

1

5

x+2，
∵OC=2，設(shè)F的坐標是（2，b），代入y=

1

5

x+2，得：b=

12

5

，
在直角△CPF中，∵CP=1，CF=

12

5

，
∴PF=

13

5

，
過E作EN⊥PE，利用面積法，S_△CEF+S_△CPE-S_△PEF=S_△PCF．
則

1

2

CF•NC+

1

2

PF•EN=

1

2

CP•EF，即

12

5

×3+1×3-

13

5

EN=1×

12

5

，
∴EN=3．
∵EN⊥PF，EN⊥PN，EN-EG=3，
∴∠FPE=∠EPN，
①當∠EM₃P=∠EFP時，△EPM₃≌△EFP，此時PM₃=PF=

13

5

，
∴OM₃=

13

5

+3=

28

5

，
∴M₃（

28

5

，0）；
②當∠PEM₄=∠EFP時，△EPM₄∽△M₃PE，則PE²=PM₃•PM₄，
即（

3

）²=

13

5

PM₄，
∴PM₄=5，
∴M₄的坐標是（8，0）．
總之，當P在x軸的負半軸時，M的坐標是（4，0）或（0，0）；當P在線段OC上時，不存在；當P在OC上時，M的坐標是（

28

5

，0）或（8，0）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進行討論是關(guān)鍵．