Question

20．在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是邊AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E．已知∠BAE=20°，則∠C的度數(shù)為35°或55°．

Answer 1

分析 分兩種情況，當(dāng)AC的垂直平分線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E時(shí)，連接EA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=CE，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠EAC，根據(jù)直角三角形中兩銳角互余得到方程∠C-20°+∠C=90°，于是得到結(jié)論；當(dāng)AB的垂直平分線交線段BC于點(diǎn)D時(shí)，同理得到結(jié)論．

解答 解：如圖1，當(dāng)AC的垂直平分線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E時(shí)，連接EA，
∵E在線段AC的垂直平分線上，
∴EA=CE，
∴∠C=∠EAC，
∵∠BAE=20°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∴∠C-20°+∠C=90°，
解得∠C=55°；
如圖2，當(dāng)AC的垂直平分線交線段BC于點(diǎn)E時(shí)，連接EA，
∵E在線段AB的垂直平分線上，
∴EA=EC，
∴∠C=∠CAE，
∵∠BAE=20°，
∴∠C+20°+∠C=90°，
解得∠C=35°；
綜上可知∠C為35°或55°，
故答案為：35°或55°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．