Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．

（1）求證：AE=DF；

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請說明理由．

　

Answer 1

（1）證明：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．

∴AB=AC=×60=30cm．

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在直角△CDF中，∠C=30°，

∴DF=CD=2t，

∴DF=AE；

解：（2）∵DF∥AB，DF=AE，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，

即60﹣4t=2t，

解得：t=10，

即當(dāng)t=10時(shí)，▱AEFD是菱形；

（3）當(dāng)t=時(shí)△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；當(dāng)t=12時(shí)，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：

當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，DE∥BC．

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

即60﹣4t=4t

解得：t=

∴t=時(shí)，∠EDF=90°．

當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，DE⊥EF，

∵四邊形AEFD是平行四邊形，

∴AD∥EF，

∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，

∵∠A=60°，

∴∠DEA=30°，

∴AD=AE，

AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF=CD=2t，

∴60﹣4t=t，

解得t=12．

綜上所述，當(dāng)t=時(shí)△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；當(dāng)t=12時(shí)，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）

∴小麗駕車從甲地到乙地共耗油：33.5×=3.35升．