Question

6．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB的中點，∠EDF=90°
（1）求證：EC=FB；
（2）試探究線段AE+BF與EF的大小關(guān)系；
（3）求證：四邊形ECFD的面積是△ABC的面積的一半；
（4）若E、F為AC、BC邊上的動點，其他條件不變，則（1）、（2）、（3）中的結(jié)論是否仍然成立？

Answer 1

分析 （1）連接CD，證明△CED與△BFD全等即可證得EC=FB；
（2）通過證△CED≌△BFD，EC=FB，同理證得△AED≌△CFD，AE=CF．在△CEF中，CE+CF＞EF，所以FB+AE＞EF；
（3）由（2）中的結(jié)論不難得到△CED的面積=△BFD面積，△AED的面積=△CFD的面積，所以四邊形ECFD的面積是△ABC的面積的一半；
（4）由（1）、（2）、（3）的證明過程可說明，若E、F為AC、BC邊上的動點，其他條件不變，（1）、（2）、（3）中的結(jié)論仍然成立．

解答 解：（1）連接CD，如圖1，
∵∠C=90°，AC=BC，D是AB的中點，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∠ACD=∠BCD=∠CAB=∠CBA=45°，（等腰三角形底邊上的高線、頂角的平分線與底邊的中線互相重合），
∵∠EDF=90°，
∴∠EDC=∠FDB（同角的余角相等），
在△EDC和△FDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠FDB}\\{CD=BD}\\{∠ECD=∠FBD}\end{array}\right.$，
∴△EDC≌△FDB（ASA），
∴EC=FB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；
（2）由（1）中△EDC≌△FDB的證明，同理可證得△AED≌△CFD
∴AE=CF（全等三角形對應(yīng)邊相等），
又∵EC=FB，
在△CEF中，EC+CF＞EF，
∴AE+FB＞EF；
（3）∵△CED≌△BFD，△AED≌△CFD，
∴S_△CED=S_△BFD，S_△AED=S_△CFD，
∴S_△CED+S_△CFD=S_△BFD+S_△AED，
即：S_{四邊形ECFD}=S_△BFD+S_△AED，
∴四邊形ECFD的面積是△ABC的面積的一半；
（4）若E、F為AC、BC邊上的動點，其他條件不變，則（1）、（2）、（3）中的結(jié)論仍然成立．

點評 對于等腰三角形的問題，常常應(yīng)用“三線合一”這條性質(zhì)，即：等腰三角形底邊上的中線、頂角的平分線、底邊上的高線互相重合，解決本題的關(guān)鍵是引出輔助線：中線CD．