Question

7．在如圖的直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0）；B（0，-2），將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°至AC．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+ax+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
①求拋物線的解析式；
②在拋物線上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)C除外）使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)C作CD垂直于x軸，由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°至AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得到AB=AC，且∠BAC為直角，可得∠OAB與∠CAD互余，由∠AOB為直角，可得∠OAB與∠ABO互余，根據(jù)同角的余角相等可得一對(duì)角相等，再加上一對(duì)直角相等，利用ASA可證明三角形ACD與三角形AOB全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐標(biāo)及位置特點(diǎn)求出OA及OB的長(zhǎng)，可得出OD及CD的長(zhǎng)，根據(jù)C在第四象限得出C的坐標(biāo)；
（2）①由已知的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，把第一問(wèn)求出C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出拋物線的解析式；
②假設(shè)存在點(diǎn)P使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，分三種情況考慮：（i）A為直角頂點(diǎn)，過(guò)A作AP₁垂直于AB，且AP₁=AB，過(guò)P₁作P₁M垂直于x軸，如圖所示，根據(jù)一對(duì)對(duì)頂角相等，一對(duì)直角相等，AB=AP₁，利用AAS可證明三角形AP₁M與三角形ACD全等，得出AP₁與P₁M的長(zhǎng)，再由P₁為第二象限的點(diǎn)，得出此時(shí)P₁的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中檢驗(yàn)滿足；（ii）當(dāng)B為直角頂點(diǎn)，過(guò)B作BP₂垂直于BA，且BP₂=BA，過(guò)P₂作P₂N垂直于y軸，如圖所示，同理證明三角形BP₂N與三角形AOB全等，得出P₂N與BN的長(zhǎng)，由P₂為第三象限的點(diǎn)，寫(xiě)出P₂的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中檢驗(yàn)滿足；（iii）當(dāng)B為直角頂點(diǎn)，過(guò)B作BP₃垂直于BA，且BP₃=BA，如圖所示，過(guò)P₃作P₃H垂直于y軸，同理可證明三角形P₃BH全等于三角形AOB，可得出P₃H與BH的長(zhǎng)，由P₃為第四象限的點(diǎn)，寫(xiě)出P₃的坐標(biāo)，代入拋物線解析式檢驗(yàn)，不滿足，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)C作CD⊥x軸，垂足為D，

∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，-2），
∴OA=CD=1，OB=AD=2，
∴OD=OA+AD=3，又C為第四象限的點(diǎn)，
∴C的坐標(biāo)為（3，-1）；
（2）①∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+ax+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且C（3，-1），
∴把C的坐標(biāo)代入得：-1=-$\frac{9}{2}$+3a+2，解得：a=$\frac{1}{2}$，
則拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；
②存在點(diǎn)P，△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，
（i）若以AB為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，
則延長(zhǎng)CA至點(diǎn)P₁使得P₁A=CA，得到等腰直角三角形ABP₁，過(guò)點(diǎn)P₁作P₁M⊥x軸，如圖2所示，

∵AP₁=CA，∠MAP₁=∠CAD，∠P₁MA=∠CDA=90°，
∴△AMP₁≌△ADC，
∴AM=AD=2，P₁M=CD=1，
∴P₁（-1，1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P₁在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2上；
（ii）若以AB為直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)B作BP₂⊥BA，且使得BP₂=AB，
得到等腰直角三角形ABP₂，過(guò)點(diǎn)P₂作P₂N⊥y軸，如圖3，

同理可證△BP₂N≌△ABO，
∴NP₂=OB=2，BN=OA=1，
∴P₂（-2，-1），經(jīng)檢驗(yàn)P₂（-2，-1）也在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2上；
（iii）若以AB為直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)B作BP₃⊥BA，且使得BP₃=AB，
得到等腰直角三角形ABP₃，過(guò)點(diǎn)P₃作P₃H⊥y軸，如圖4，

同理可證△BP₃H≌△BAO，
∴HP₃=OB=2，BH=OA=1，
∴P₃（2，-3），經(jīng)檢驗(yàn)P₃（2，-3）不在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2上；
則符合條件的點(diǎn)有P₁（-1，1），P₂（-2，-1）兩點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．