【題目】如圖所示,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(﹣1,0)、(0,﹣3).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn),點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn),且DC=DE,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)在第二問的條件下,在直線DE上存在點(diǎn)P,使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似,請(qǐng)你直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1y=x2﹣2x﹣3;(2D0,﹣1);(3P點(diǎn)坐標(biāo)(,0)、(,﹣2)、(﹣3,8)、(3,﹣10).

【解析】試題分析:(1)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式,求出b,c值,即可得到拋物線解析式;(2)先根據(jù)解析式求出C點(diǎn)坐標(biāo),及頂點(diǎn)E的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,m),作EFy軸于點(diǎn)F,利用勾股定理表示出DC,DE的長(zhǎng)。再建立相等關(guān)系式求出m值,進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo);(3)先根據(jù)邊角邊證明COD≌△DFE,得出CDE=90°,即CDDE,然后當(dāng)以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與DOC相似時(shí),根據(jù)對(duì)應(yīng)邊不同進(jìn)行分類討論:當(dāng)OCCD是對(duì)應(yīng)邊時(shí),有比例式,能求出DP的值,又因?yàn)?/span>DE=DC,所以過點(diǎn)PPGy軸于點(diǎn)G,利用平行線分線段成比例定理即可求出DG,PG的長(zhǎng)度,根據(jù)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊和右邊,得到符合條件的兩個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)OCDP是對(duì)應(yīng)邊時(shí),有比例式,易求出DP,仍過點(diǎn)PPGy軸于點(diǎn)G,利用比例式求出DG,PG的長(zhǎng)度,然后根據(jù)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊和右邊,得到符合條件的兩個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo);這樣,直線DE上根據(jù)對(duì)應(yīng)邊不同,點(diǎn)P所在位置不同,就得到了符合條件的4個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析:(1拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A﹣1,0)、B0﹣3),,解得,故拋物線的函數(shù)解析式為y=x2﹣2x﹣3;(2)令x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0),y=x2﹣2x﹣3=x﹣12﹣4點(diǎn)E坐標(biāo)為(1,﹣4),設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,m),作EFy軸于點(diǎn)F(如下圖),DC2=OD2+OC2=m2+32,DE2=DF2+EF2=m+42+12DC=DE,m2+9=m2+8m+16+1,解得m=﹣1點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,﹣1);(3點(diǎn)C30),D0,﹣1),E1﹣4),CO=DF=3DO=EF=1,根據(jù)勾股定理,CD===,在CODDFE中,,∴△COD≌△DFESAS),∴∠EDF=DCO,又∵∠DCO+CDO=90°,∴∠EDF+CDO=90°,∴∠CDE=180°﹣90°=90°,CDDE,當(dāng)OCCD是對(duì)應(yīng)邊時(shí),DOC∽△PDC,,即=,解得DP=,過點(diǎn)PPGy軸于點(diǎn)G,則,即,解得DG=1PG=,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí),OG=DG﹣DO=1﹣1=0,所以點(diǎn)P,0),當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí),OG=DO+DG=1+1=2,所以,點(diǎn)P﹣2);當(dāng)OCDP是對(duì)應(yīng)邊時(shí),∵△DOC∽△CDP,,即=,解得DP=3,過點(diǎn)PPGy軸于點(diǎn)G,則,即,解得DG=9,PG=3,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí),OG=DG﹣OD=9﹣1=8,所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣3,8),當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí),OG=OD+DG=1+9=10,所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,﹣10),綜上所述,在直線DE上存在點(diǎn)P,使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與DOC相似,滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè),其坐標(biāo)分別為(,0)、(,﹣2)、(﹣3,8)、(3,﹣10).

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