Question

某中學(xué)老年活動(dòng)中心排練一個(gè)扇子舞蹈，需要手工制作一個(gè)周長為120cm的扇子（如圖①所示）
（1）設(shè)扇子半徑為xcm，則扇子的弧長為

 

cm，面積S（cm²）與半徑x（cm）的關(guān)系

 

．
（2）如果扇子的半徑為30cm，這樣做出的扇子不僅美觀而且面積最大．請(qǐng)你用數(shù)學(xué)知道說明理由，并算出最大面積．
（3）在（2）的情況下，為了使扇子更牢固耐用，我們?cè)谏让嫔嫌盟母�竹條粘貼，且竹條之間的間隔距離相等，（如圖②所示）請(qǐng)你算一算每根竹條之間的夾角（π取3）

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）扇子的弧長等于扇形的周長減去兩和半徑即可得到，根據(jù)扇形的面積公式得到S與x的函數(shù)關(guān)系；
（2）由（1）得到S是x的二次函數(shù)，利用配方法把解析式配成頂點(diǎn)式，得到S=-（x-30）²+900，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x=30時(shí)，S的最大值為900，
（3）設(shè)∠AOB的度數(shù)為n°，根據(jù)扇形的面積公式得到

n•π•302

360

=900，解得n=120，即∠AOB=120°，由于竹條之間的間隔距離相等，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到每根竹條之間的夾角相等，所以每根竹條之間的夾角=120°×

1

5

=24°．

解答：解：（1）扇子的弧長=（120-2x）cm，
S=

1

2

•x•（120-2x）=-x²+60x（0＜x＜60）；
故答案為（120-2x），S=-x²+60x（0＜x＜60）；
（2）S=-x²+60x
=-（x-30）²+900，
∵a=-1＜0，
∴S有最大值，當(dāng)x=30時(shí)，S的最大值為900，
即扇子的半徑為30cm，這樣做出的扇子不僅美觀而且面積最大，最大面積為900cm²；
（3）設(shè)∠AOB的度數(shù)為n°，
∵x=30時(shí)，扇形的面積為900，
∴

n•π•302

360

=900，
∴n=

360

3

=120，
即∠AOB=120°，
∵竹條之間的間隔距離相等，
∴每根竹條之間的夾角相等，即為120°×

1

5

=24°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系和扇形的面積公式；會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題中的最值問題．