Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，A，B坐標(biāo)為A（-1，3），B（-4，2）
（1）若這（0，y）是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長最短時(shí)，求y的值？
（2）設(shè)M，N分別為x軸，y軸上一動(dòng)點(diǎn)，問是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0），N（0，n）使四邊形ABMN的周長最短？并求m，n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）AB的長度一定，要使△PAB的周長取最小值，需要滿足PA+PB取最小值，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)確定點(diǎn)P的位置，求出A'B的函數(shù)解析式后即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得出y的值；
（2）根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)，可得存在使四邊形ABMN周長最短的點(diǎn)M、N，當(dāng)且僅當(dāng)m=-2，n=2時(shí)成立．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，則A'B與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P的位置，
∵A（-1，3），
∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（1，3），
設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b，則

k+b=3 -4k+b=2

，
解得

k= 1 5 b= 14 5

，
即直線A'B的解析式為y=

1

5

x+

14

5

，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），且點(diǎn)P在直線A′B上，
∴y=

14

5

．

（2）存在使四邊形ABMN周長最短的點(diǎn)M、N，
作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，與x軸、y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N，
∴A′（1，3），B′（-4，-2），
∴直線A′B′的解析式為：y=x+2，
∴M（-2，0），N（0，2）．
m=-2，n=2．
所以當(dāng)m=-2，n=2時(shí)四邊形ABMN的周長最短．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題：通過對(duì)稱，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題．也考查了坐標(biāo)變換以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；