Question

【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=4，PB=，PC=2，以下五個(gè)結(jié)論：①∠ BPC=120°；②∠APC=120°；③；④AB=；⑤點(diǎn)P到△ABC三邊的距離分別為PE,PF,PG,則有 其中正確的有（ ）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

作BH⊥PC于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得：BA=BC，∠ABC=60°，把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，證明出△PBD為等邊三角形和△PCD為直角三角形即可求出①；根據(jù)平角性質(zhì)，可得∠BPH=30°，證明△ABP為直角三角形，即可求出②和④；根據(jù)面積公式求出③；根據(jù)等面積法即可求出④.

作BH⊥PC于H

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得：BA=BC，∠ABC=60°

把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，連接PD得到上圖

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=AP=4，BD=BP=，∠PBD=60°

∴△PBD為等邊三角形

∴PD=PB=，∠BPD=60°

在三角形PDC中，PC=2，PD= ，CD=4

∴PC2+PD2=CD2

∴△PCD為直角三角形，∠CPD=90°

∴∠BPC=∠BPD+∠CPB=150°，故①錯(cuò)誤；

根據(jù)平角性質(zhì)，可得∠BPH=30°

在直角三角形PBH中，∵∠BPH=30°

∴PB=

∴BH=，則PH=3

CH=PC+PH=2+3=5

在直角三角形BCH中

，則，故④正確；

又∵

∴△ABP為直角三角形，∠APB=90°

∴∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°，故選項(xiàng)②正確；

，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；

∴，故選項(xiàng)⑤正確

故答案選擇：B.