Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠EAF=90°，AB•AF=AC•AE．連接CF并延長CF交AB于點G，交BE于點D．
（1）求證：△AGC∽△DGB；
（2）若點F為CG的中點，AB=3，AC=4，

DG

DB

=

1

2

，求DF的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）利用兩邊的比值相等并且它們的夾角相等的兩個三角形相似即可先證明：△EAB∽△CAF，由此得到∠DBG=∠ACF，進而可證明△AGC∽△DGB；
（2）由（1）可證明：△AGC∽△DGB，所以∠CAG=∠GDB=90°，所以△BDG是直角三角形，并且tan∠DBG=tan∠ACG=

1

2

，由此DG可求，再根據(jù)已知條件求出GF的長即可得到DF的長．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，∠EAF=90°，
∴∠EAF+∠GAF=∠CAF+GAF=90°，
∴∠EAB=∠CAF．
∵AB•AF=AC•AE
∴

AE

AF

=

AB

AC

，
∴△ABE∽△ACF，
∴∠DBG=∠ACF．
∵∠DGB=∠AGC，
∴△AGC∽△DGB；
（2）∵△AGC∽△DGB，
∴

AG

AC

=

DG

DB

=

1

2

，
∵AC=4，
∴AG=2，
∴CG=

AC2+AG2

=2

5

．
∵∠BAC=90°，點F為CG的中點，
∴FG=

5

．
∵AB=3，
∴BG=AB-AG=1，可得DG=

5

5

．
∴DF=DG+GF=

5

5

+

5

=

6 5

5

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運用、解直角三角形的知識，題目的綜合性很強，難度不小，對學(xué)生的解題能力要求很高，是一道不錯的中考題．