Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A、B、C三點(diǎn)的拋物線l上，
（1）求拋物線l的解析式；
（2）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若拋物線l上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線AC的距離為n，求出n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OA=OC=4OB，可得B、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得EF與OD的關(guān)系，根據(jù)垂線段的性質(zhì)，可得DF是中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)，可得DF的長(zhǎng)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行線間的距離相等，可得PP₁∥BC∥P₂E，根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得k的值，根據(jù)線段的和差，可得CE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，可得n的值．

解答 解：（1）由A（4，0），可知OA=4．
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是：y=-x²+3x+4；
（2）如圖1，
連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．
根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
則AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點(diǎn)．
又∵DF∥OC，
∴DF=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2，
當(dāng)y=2時(shí)，-x²+3x+4=2，
解得x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
即P₁（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2），P₂（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）；
（3）如圖2，
CD⊥DE于E，PP₁∥BC∥P₂E，且P到BC的距離是n，P₂到BC的距離是n，
P₂E的解析式為y=-x+k，
聯(lián)立P₂E與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+k}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)，得
x²-4x+k-4=0．方程有相等的兩實(shí)根，得
△=（-4）²-4（k-4）=0，解得k=8，
P₂E的解析式為y=-x+8，
當(dāng)x=0時(shí)，y=8，即E（0，8）；
CE=8-4=4，
等腰直角三角形CDE中，由勾股定理，得
CD²+DE²=CE²，
2CD²=16，
CD=2$\sqrt{2}$，
P到CD的距離n=2$\sqrt{2}$．
若拋物線l上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線AC的距離為n，n的值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用矩形的性質(zhì)得出OD=EF是解題關(guān)鍵，又利用了三角形中位線的性質(zhì)；利用平行線間的距離相等得出直線DE的解析式是解題關(guān)鍵．