Question

4．已知，如圖，在?ABCD中，AC是對角線，AB=AC，點E、F分別是BC、AD的中點，連接AE，CF．
（1）四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結論；
（2）當△ABC的角滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，AD∥BC，求出AF=CE，AF∥CE，求出四邊形AECF是平行四邊形，求出∠AEC=90°，即可得出答案；
（2）求出AE=EC=$\frac{1}{2}$BC，即可得出答案．

解答 （1）四邊形AECF是矩形，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E、F分別是BC、AD的中點，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD，CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AB=AC，E為BC的中點，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四邊形AECF是矩形；

（2）當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形AECF是正方形，
證明：∵∠BAC=90°，E為BC的中點，
∴AE=EC=$\frac{1}{2}$BC，
∵四邊形AECF是矩形，
∴四邊形AECF是正方形，
∴當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形AECF是正方形．

點評 本題考查了矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應用，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．