Question

已知⊙O與⊙O′內(nèi)切于點A，⊙O的弦BC與⊙O′切于點D，AB、AC與⊙O′分別交于點E、F，AG、EH為⊙O′直徑，BO延長線交GH于點M．
（1）證明：BEHM為平行四邊形；
（2）若AF=3，HM=1，求DE的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題,平行四邊形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關系,圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),弦切角定理,相切兩圓的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）由⊙O與⊙O′內(nèi)切于點A可得到點O、O′、A共線，進而可證到∠AEO′=∠EAO′=∠ABO，則有EH∥BM；易證∠AEH=∠AGH=∠O′HG，則有AB∥GH，就可證到BEHM為平行四邊形．
（2）過點A作兩圓的公切線PQ，連接AD、DF，根據(jù)弦切角定理可得∠ABC=∠PAC=∠ADF，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠BED=∠AFD，從而證到△BED∽△DFA，則有

ED

FA

=

BE

DF

，∠BDE=∠DAF．根據(jù)弦切角定理可得∠BDE=∠EAD，從而有∠EAD=∠DAF，進而可得到DE=DF．由BEHM為平行四邊形可得BE=MH=1，把FA=3，BE=1，DE=DF代入

ED

FA

=

BE

DF

就可求出ED的長．

解答：（1）證明：∵⊙O與⊙O′內(nèi)切于點A，
∴點O、O′、A共線．
∵O′A=O′E，OA=OB，
∴∠AEO′=∠EAO′=∠ABO．
∴EH∥BM．
∵O′G=O′H，∴∠O′HG=∠O′GH．
∵∠AEH=∠AGH，∴∠AEH=∠O′HG．
∴AB∥GH．
∴BEHM為平行四邊形．

（2）解：過點A作兩圓的公切線PQ，連接AD、DF，如圖所示．
則根據(jù)弦切角定理可得：∠ABC=∠PAC，∠PAF=∠ADF．
∴∠ABC=∠ADF．
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得：∠BED=∠AFD．
∴△BED∽△DFA．
∴

ED

FA

=

BE

DF

，∠BDE=∠DAF．
∵BC與⊙O′切于點D，
∴根據(jù)弦切角定理可得：∠BDE=∠EAD．
∴∠EAD=∠DAF．
∴

DE

=

DF

．
∴DE=DF．
∵BEHM為平行四邊形，∴BE=MH．
∵AF=3，BE=HM=1，
∴

ED

3

=

1

DE

．
解得：DE=

3

．
∴DE的長為

3

．

點評：本題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)、弦切角定理、圓周角定理、弧與弦的關系、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定等知識，綜合性比較強．而作相切兩圓的公切線，并根據(jù)弦切角定理得到角等是解決第（2）小題的關鍵．