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如圖,已知在正方形ABCD中,P為BC上的一點,E是邊BC延長線上一點,連接AP過點P作PF⊥精英家教網AP,與∠DCE的平分線CF,相交于點F,連接AF,與邊CD相交于點G,連接PG.
(1)求證:①∠PAB=∠FPC;②AP=FP;
(2)試判斷PB、DG、PC,這三條線段存在怎樣的數量關系,并說明理由.
分析:(1)①根據已知條件,由同一個角的余角相等求證.
②過F作FM⊥BC交延長線于M,根據線段之間的關系,證明△ABP≌△PMF,進而求證AP=FP.
(2)過F作MN平行于CD,交CE、AD的延長線于點M、N,根據平行線的性質,結合線段之間的關系,列方程求解.
解答:精英家教網解:(1)①∵正方形ABCD,
∴∠B=90°,即∠BAP+∠APB=90°,
∵PF⊥AP,
∴∠APB+∠EPC=90°,
∴∠PAB=∠FPC.
②如圖作FM⊥BC,交延長線與點M.
設AB=a,FM=b,BP=x,
則CP=a-x,
∵CF平分DCE,
∴CM=FM=b,
∴PM=a-x+b,
∵∠PAB=∠FPC,
∴△ABP∽△PMF,
AB
PM
=
BP
FM
,
a
a-x+b
=
x
b
,
a-x
a-x+b-b
=
x
b
=1,
∴x=b,即FM=BP,
∴△ABP≌△PMF,
∴AP=FP.

(2)
DG
PC
=
BP+PC
2BP+PC
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證明:如圖,過F作MN平行于CD,交CE、AD的延長線于點M、N,得到矩形CMND,
DG
NF
=
AD
AN
,
由(1)②中得出FM=BP=CM=DN,
∵BC=MN,BP=FM,
∴PC=NF,
DG
PC
=
BP+PC
2BP+PC
點評:①本題考查了正方形的性質,結合了三角形全等的判定,屬于綜合性比較強的題目,要求有比較扎實的基礎.
②(2)涉及到探究性試題,解決本類試題要先求解,然后給出結論,再進行證明.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

18、如圖,已知在正方形ABCD中,P是BC上的一點,且AP=DP.求證:P是BC中點.

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如圖,已知在正方形ABCD中,AB=2,P是邊BC上的任意一點,E是邊BC延長線上精英家教網一點,連接AP.過點P作PF⊥AP,與∠DCE的平分線CF相交于點F.連接AF,與邊CD相交于點G,連接PG.
(1)求證:AP=FP;
(2)⊙P、⊙G的半徑分別是PB和GD,試判斷⊙P與⊙G兩圓的位置關系,并說明理由;
(3)當BP取何值時,PG∥CF.

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如圖,已知在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE.過點A作AE的垂線交DE于點P.若AE=AP=1,PB=
6
.下列結論:
①△APD≌△AEB﹔②點B到直線AE的距離為
3
﹔③EB⊥ED﹔④S△APD+S△APB=0.5+
2

其中正確結論的序號是( 。

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(2013•倉山區(qū)模擬)如圖,已知在正方形ABCD網格中,每個小方格都是邊長為1的正方形,E是邊DC上的一個網格的格點.
(1)
DE
EB
的值是
1
5
1
5
;
(2)按要求畫圖:在BC邊長找出格點F,連接AF,使AF⊥BE;
(3)在(2)的條件下,連接EF,求cos∠AFE的值.(結果保留根式)

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2010•鄭州模擬)如圖,已知在正方形ABCD中,EF分別是AB,BC上的點,若有AE+CF=EF,請你猜想∠EDF的度數,并說明理由.

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