已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3圖象的對稱軸為直線x=1.
(1)用含a的代數(shù)式表示b;
(2)若一次函數(shù)y=kx+5的圖象經(jīng)過點A(4,1)及這個二次函數(shù)圖象的頂點,求二次函數(shù)y=ax2+bx+3的解析式;
(3)在(2)的條件下,若點P(T,2T)在二次函數(shù)y=ax2+bx+3圖象上,則點P叫作圖象上的2倍點,求出這個二次函數(shù)圖象上的所有2倍點的坐標.
分析:(1)根據(jù)拋物線的直線方程x=-
b
2a
=1,即可求出b和a的關系;
(2)把A(4,1)代入一次函數(shù)y=kx+5即可求出k的值,設拋物線頂點坐標為(1,n),代入y=-x+5中,可得n=-1+5=4,所以拋物線頂點坐標為(1,4),代入y=ax2-2ax+3中,可得a=-1;
(3)因為P(T,2T)在二次函數(shù)y=ax2+bx+3圖象上,所以可代入求出符合題意的T值.
解答:解:(1)由題意,得x=-
b
2a
=1,
∴b=-2a且a≠0;

(2)由直線y=kx+5過點A(4,1),
∴1=4k+5,解得k=-1,
∴y=-x+5,
設拋物線頂點坐標為(1,n),代入y=-x+5中,可得n=-1+5=4,
∴拋物線頂點坐標為(1,4),
代入y=ax2-2ax+3中,可得a=-1,
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3;

(3)∵點P(T,2T)在拋物線上
∴2T=-T2+2T+3,
解得T=±
3
,
∴這個拋物線上的2倍點有兩個,分別是(
3
,2
3
)和(-
3
,-2
3
).
點評:本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)運用和一次函數(shù)交點的問題,解決此類問題時,先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號,然后判斷新的函數(shù)關系式中系數(shù)的符號,再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征,則符合所有特征的圖象即為正確選項.
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C.a+b+c=0          D.當x<1時,y隨x的增大而減小

 

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x-0.1-0.2-0.3-0.4
y=ax2+bx+c-0.58-0.120.380.92

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(A)圖像關于直線x=1對稱

(B)函數(shù)y=ax²+bx+c(c ≠0)的最小值是 -4

(C)-1和3是方程ax²+bx+c=0(c ≠0)的兩個根

(D)當x<1時,y隨x的增大而增大

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