Question

如圖，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，點(diǎn)P在邊CD上，且BP=BC，點(diǎn)M在線段BP上，點(diǎn)N在線段BC的延長(zhǎng)線上，且PM=CN，連接MN交CP于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作ME⊥CP于E，則EF=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：過點(diǎn)M作MH∥BC交CP于H，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠MHP=∠BCP，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠NCF=∠MHF，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BCP=∠BPC，然后求出∠BPC=∠MHP，根據(jù)等角對(duì)等邊可得PM=MH，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得PE=EH，利用“角邊角”證明△NCF和△MHF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=FH，從而求出EF=

1

2

CP，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BC=AD=10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式計(jì)算即可求出CP，從而得解．

解答：解：如圖，過點(diǎn)M作MH∥BC交CP于H，
則∠MHP=∠BCP，∠NCF=∠MHF，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BPC=∠MHP，
∴PM=MH，
∵PM=CN，
∴CN=MH，
∵M(jìn)E⊥CP，
∴PE=EH，
在△NCF和△MHF中，

∠NCF=∠MHF ∠CFN=∠HFM CN=MH

，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF=FH，
∴EF=EH+FH=

1

2

CP，
∵矩形ABCD中，AD=10，
∴BC=AD=10，
∴BP=BC=10，
在Rt△ABP中，AP=

BP2-AB2

=

102-82

=6，
∴PD=AD-AP=10-6=4，
在Rt△CPD中，CP=

CD2+PD2

=

82+42

=4

5

，
∴EF=

1

2

CP=

1

2

×4

5

=2

5

．
故答案為：2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵．