Question

閱讀下面的材料：

如圖，在以AB為直徑的半圓O內有一點P，AP、BP的延長線分別交半圓O于點C、D．求證：AP·AC＋BP·BD＝AB²．

證明：連結AD、BC，過P作PM⊥AB，則∠ADB＝∠AMP＝90°，

∴點D、M在以AP為直徑的圓上；同理：M、C在以BP為直徑的圓上．

由割線定理得：AP·AC＝AM·AB，BP·BD＝BM·BA，

所以，AP·AC＋BP·BD＝AM·AB＋BM·AB＝AB·(AM＋BM)＝AB²．

當點P在半圓周上時，也有AP·AC＋BP·BD＝AP²＋BP²＝AB²成立，那么：

(1)如圖當點P在半圓周外時，結論AP·AC＋BP·BD＝AB²是否成立？為什么？

(2)如圖當點P在切線BE外側時，你能得到什么結論？將你得到的結論寫出來．

Answer 1

答案：
解析：

(1)成立．1分 　　證明：如圖，∵∠PCM＝∠PDM＝90°， 　　∴點C、D在以PM為直徑的圓上，3分 　　∴AC·AP＝AM·MD，BD·BP＝BM·BC， 　　∴AC·AP＋BD·BP＝AM·MD＋BM·BC， 　　由已知，AM·MD＋BM·BC＝AB2， 　　∴AP·AC＋BP·BD＝AB2．5分 　　(2)如圖，過P作PM⊥AB，交AB的延長線于M，連結AD、BC，6分 　　則C、M在以PB為直徑的圓上，∴AP·AC＝AB·AM，① 　　D、M在以PA為直徑的圓上，∴BP·BD＝AB·BM，②　8分 　　由圖象可知：AB＝AM－BM，③ 　　由①②③可得：AP·AC－BP·BD＝AB·(AM－BM)＝AB2．10分