Question

18．如圖，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，BC的延長(zhǎng)線交DE于F，連接BD，若BC=2EF，試證明△BED是等腰三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形的兩銳角互余，以及對(duì)頂角相等，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可證得BF是DE的垂直平分線，據(jù)此即可證得．

解答 證明：∵將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，
∴DE=BC，∠ADF=∠ABC，
∵BC=2EF，
∴DF=EF，
∴DE=2EF，
∵在直角△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵∠ABC=∠ADE，
∴∠ACB+∠ADE=90°．
∵∠FCD=∠ACB，
∴∠FCD+∠ADE=90°，
∴∠CFD=90°，
∴BF⊥DE，
∵EF=FD，
∴BF垂直平分DE，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．