Question

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC

（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB上且點(diǎn)C和點(diǎn)D重合時(shí)，若點(diǎn)M、N分別是DB、EC的中點(diǎn)，則MN與EC的位置關(guān)系是

 

，MN與EC的數(shù)量關(guān)系是

 

（2）探究：若把（1）小題中的△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，連接BD和EC，并連接DB、EC的中點(diǎn)M、N，則MN與EC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系仍然能成立嗎？若成立，請以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖形（圖3）為例給予證明位置關(guān)系成立，以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖形（圖4）為例給予證明數(shù)量關(guān)系成立，若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理得出得出MN與EC的位置關(guān)系和MN與EC的數(shù)量關(guān)系；
（2）首先得出△EDM≌△FBM（SAS），進(jìn)而求出△EAC≌△FBC（SAS），即可得出∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°，進(jìn)而得出MN⊥EC，再利用△EDM≌△FBM（AAS），
得出，MN與EC的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）MN⊥EC，MN=

1

2

EC；
理由：∵當(dāng)點(diǎn)E在AB上且點(diǎn)C和點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)M、N分別是DB、EC的中點(diǎn)，
∴MN是三角形BED的中位線，
∴MN

∥

.

1

2

BE，
∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC，
∴BE=DE，∠AED=90°，
∴MN與EC的位置關(guān)系是：MN⊥EC，MN與EC的數(shù)量關(guān)系是：MN=

1

2

EC．
故答案為：MN⊥EC，MN=

1

2

EC；

（2）MN⊥EC，MN=

1

2

EC；
理由：如圖3，連接EM并延長到F，使EM=MF，連接CM、CF、BF．
在△EDM和△FBM中，

DM=MB ∠EMD=∠FMB ME=FM

，
∴△EDM≌△FBM（SAS），
∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°，
∴∠FBC=∠EAC=90°，
在△EAC和△FBC中，

AE=BF ∠EAC=∠FBC AC=BC

，
∴△EAC≌△FBC（SAS），
∴FC=EC，∠FCB=∠ECA，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°，
∴EC⊥FC，
又∵點(diǎn)M、N分別是EF、EC的中點(diǎn)，
∴MN∥FC，
∴MN⊥EC，
如圖4，連接EM并延長交BC于F，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠BFM，∠EDM=∠MBF，
在△EDM和△FBM中，

∠MFB=∠DEM ∠FBM=∠EDM BM=DM

，
∴△EDM≌△FBM（AAS），
∴BF=DE=AE，EM=FM，
∴MN=

1

2

FC=

1

2

（BC-BF）=

1

2

（AC-AE）=

1

2

EC．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理等知識，熟練利用三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．