Question

如圖，矩形ＡＢＣＤ中，Ｏ是ＡＣ與ＢＤ的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Ｏ的直線ＥＦ與ＡＢ、ＣＤ的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)Ｅ、Ｆ．

（1）求證：△ＢＯＥ≌△DOF；

（2）當(dāng)EF與AC滿足什么條件時(shí)四邊形ＡＥＣＦ是菱形，并證明你的結(jié)論．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，AC和BD交于點(diǎn)O

∴AB∥CD; OB=OD   

∴∠OEB=∠OFD  

∵∠BOE=∠DOF     

∴△BOE≌△DOF  

(2)解：當(dāng)EF與AC垂直的時(shí)候四邊形AECF是菱形。

證明如下：

     ∵△BOE≌△DOF   

     ∴ BE=DF

     ∵ AB=CD

     ∴AE=CF且AE∥CF

     又∵EF⊥AC

     ∴ 四邊形AECF是菱形

【解析】（1）由矩形的性質(zhì)：OB=OD，AE∥CF證得△BOE≌△DOF；

（2）當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形．根據(jù)已知條件可證明四邊形AECF是平行四邊形，當(dāng)EF⊥AC，可根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定．