9.已知:二次函數(shù)y=x2-3(m-1)x+3m-4(m為實數(shù))的圖象與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1≠x2)兩點.
(1)求m的取值范圍;
(2)若$\frac{1}{OA}$+$\frac{1}{OB}$=$\frac{2}{OA}$•$\frac{1}{OB}$(O為坐標(biāo)原點),求m的值.

分析 (1)利用△=b2-4ac>0拋物線與x軸有2個交點得到△=9(m-1)2-4(3m-4)>0,然后解不等式即可得到m的取值范圍;
(2)先判斷x1、x2為方程x2-3(m-1)x+3m-4=0的兩根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=3(m-1),x1•x2=3m-4,再由$\frac{1}{OA}$+$\frac{1}{OB}$=$\frac{2}{OA}$•$\frac{1}{OB}$得到|x1|+|x2|=2,接著分類討論x1和x2的符號去絕對值得到m的方程,然后解方程求出滿足條件的m的值.

解答 解:(1)∵二次函數(shù)y=x2-3(m-1)x+3m-4(m為實數(shù))的圖象與x軸有兩個交點,
∴△=9(m-1)2-4(3m-4)>0,即(3m-5)2>0,
∴3m-5≠0,即m≠$\frac{5}{3}$;
(2)根據(jù)題意,x1、x2為方程x2-3(m-1)x+3m-4=0的兩根,
∴x1+x2=3(m-1),x1•x2=3m-4,
∵$\frac{1}{OA}$+$\frac{1}{OB}$=$\frac{2}{OA}$•$\frac{1}{OB}$,
∴OA+OB=2,
而OA=|x1|,OB=|x2|,
∴|x1|+|x2|=2,
當(dāng)x1+x2=3(m-1)>0,x1•x2=3m-4>0,即m>$\frac{4}{3}$且m≠$\frac{5}{3}$,則3(m-1)=2,解得m=$\frac{5}{3}$(舍去);
當(dāng)x1+x2=3(m-1)<0,x1•x2=3m-4>0,m的值不存在;
當(dāng)x1•x2=3m-4<0,即m<$\frac{4}{3}$,則x1與x2異號,x12+x22-2x1x2=4,
∴(x1+x22-4x1x2=4,
∴9(m-1)2-4(3m-4)=4,
整理得3m2-10m+7=0,解得m1=$\frac{7}{3}$(舍去),m2=1,
∴m的值為1.

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點:把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系.對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0),△=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù):△=b2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;△=b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=b2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.

練習(xí)冊系列答案
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