Question

已知，在?ABCD中，點M、N分別是AB、CD的中點，AN、CM交DB于P、Q兩點，下列結論：①PD=PQ=QB； ②AP=CQ；③CQ=2MQ； ④S_ADP=

1

4

S_?ABCD．其中正確的結論的個數是（　�。�

• A、4個
• B、、3個
• C、2個
• D、1個

Answer 1

分析：①由于四邊形ABCD是?，那么有AB∥CD，利用平行線分線段成比例定理的推論，可證△DPN∽△BPA，從而有DP：BP=1：2（1），同理有BQ：DQ=1：2（2），（1）、（2）聯合可求DP=PQ=QB；②根據SAS易證△ADP≌△CBQ，從而有AP=CQ；③由①中知△BQM∽△DQC，利用相似三角形的性質可求CG=2MQ；④由①知P、Q是BD的三等分點，利用同底等高的三角形面積相等可知S_△ADP=

1

3

S_△ABD，而S_△ABD=

1

2

S_?ABCD，易證S_△ADP=

1

6

S_?ABCD．

解答：解：①∵四邊形ABCD是?，
∴AB∥CD，
∴△DPN∽△BPA，
∴DN：AB=DP：BP，
即DP：BP=1：2（1），
同理有BQ：DQ=1：2（2），
（1）、（2）聯合和得：DP=PQ=QB，
故①正確；
②在△ADP和△CBQ中，
∵AD=BC，∠ADP=∠CBQ，DP=BQ，
∴△ADP≌△CBQ，
∴AP=CQ，
故②正確；
③由①中知△BQM∽△DQC，
∴MQ：CQ=1：2，
即CG=2MQ，
故③正確；
④由①知P、Q是BD的三等分點，
∴S_△ADP=

1

3

S_△ABD，
又∵S_△ABD=

1

2

S_?ABCD，
∴S_△ADP=

1

6

S_?ABCD，
故④錯誤．
故選B．

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理的推論、相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、三角形面積的計算．