Question

已知：如圖1，把矩形紙片ABCD折疊，使得頂點A與邊DC上的動點P重合(P不與點D，C重合)， MN為折痕，點M，N分別在邊BC， AD上，連接AP，MP，AM， AP與MN相交于點F．⊙O過點M，C，P．

(1)請你在圖1中作出⊙O(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)與 是否相等？請你說明理由；

(3)隨著點P的運動，若⊙O與AM相切于點M時，⊙O又與AD相切于點H．

設AB為4，請你通過計算，畫出這時的圖形．(圖2，3供參考)  

圖1                         圖2                    圖3

Answer 1

解：(1)如圖；          

 

(2)與不相等．

 假設，則由相似三角形的性質，得MN∥DC．   

∵∠D=90°，∴DC⊥AD，∴MN⊥AD．

∵據題意得，A與P關于MN對稱，∴MN⊥AP．

∵據題意，P與D不重合，

∴這與“過一點（A）只能作一條直線與已知直線（MN）垂直”矛盾．  

∴假設不成立．

∴不成立．  

 (3)∵AM是⊙O的切線，∴∠AMP=90°，

∴∠CMP＋∠AMB=90°．

∵∠BAM＋∠AMB=90°，∴∠CMP=∠BAM．

∵MN垂直平分AP，∴MA=MP，

∵∠B=∠C=90°， ∴△ABM≌△MCD．

∴MC=AB=4， 設PD=x，則CP=4－x，

∴BM=PC=4－x．

連結HO并延長交BC于J．

∵AD是⊙O的切線，∴∠JHD=90°．

∴矩形HDCJ．

∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC，

∴OJ:CP=MO:MP=1:2，

∴OJ=(4－x)，OH=MP=4－OJ=(4＋x)．

∵MC²= MP²－CP²，∴(4＋x)²－(4－x)²=16．

解得:x=1．即PD=1，PC=3，

∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．

由此畫圖(圖形大致能示意即可)．