【題目】如圖,四邊形ABCD是⊙O的內接正方形,AB=4,PC、PD是⊙O的兩條切線,C、D為切點.
(1)如圖1,求⊙O的半徑;
(2)如圖1,若點E是BC的中點,連接PE,求PE的長度;
(3)如圖2,若點M是BC邊上任意一點(不含B、C),以點M為直角頂點,在BC的上方作∠AMN=90°,交直線CP于點N,求證:AM=MN.
【答案】(1)2;(2)2;(3)證明見解析.
【解析】
試題(1)由切線的性質和正方形的判定與性質得出⊙O的半徑即可;
(2)由垂徑定理得出OE⊥BC,∠OCE=45°,再用勾股定理即可得出結論;
(3)在AB上截取BF=BM,利用(1)中所求,得出∠ECP=135°,再利用全等三角形的判定與性質得出即可.
試題解析:(1)如圖1,連接OD,OC,∵PC、PD是⊙O的兩條切線,C、D為切點,∴∠ODP=∠OCP=90°,∵四邊形ABCD是⊙O的內接正方形,∴∠DOC=90°,OD=OC,∴四邊形DOCP是正方形,∵AB=4,∠ODC=∠OCD=45°,∴DO=CO=DCsin45°=×4=;
(2)如圖1,連接EO,OP,∵點E是BC的中點,∴OE⊥BC,∠OCE=45°,則∠E0P=90°,∴EO=EC=2,OP=CO=4,∴PE==;
(3)如圖2,在AB上截取BF=BM,∵AB=BC,BF=BM,∴AF=MC,∠BFM=∠BMF=45°,∵∠AMN=90°,∴∠AMF+∠NMC=45°,∠FAM+∠AMF=45°,∴∠FAM=∠NMC,∵由(1)得:PD=PC,∠DPC=90°,∴∠DCP=45°,∴∠MCN=135°,∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°,在△AFM和△CMN中,∵∠FAM=∠CMN,AF=MC,∠AFM=∠MCN,∴△AFM≌△CMN(ASA),∴AM=MN.
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【題目】已知如圖,拋物線與軸交于點A和點C(2,0),與 軸交于點D,將△DOC繞點O逆時針旋轉90°后,點D恰好與點A重合,點C與點B重合.
(1)直接寫出點A和點B的坐標;
(2)求和的值;
(3)已知點E是該拋物線的頂點,求證:AB⊥EB.
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【題目】將一副直角三角板如圖1,擺放在直線上(直角三角板和直角三角板,,,,,保持三角板不動,將三角板繞點以每秒5°的速度順時針旋轉,旋轉時間為t秒.當與射線意合時停止旋轉.
(1)如圖2.當為的角平分線時,求此時的值?
(2)當旋轉至的內部時,求與的數量關系?
(3)在旋轉過程中,當三角板的其中一邊平行于三角板的某一邊時,求此時等于______.(直接寫出答案即可)
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【題目】如圖,AD是圓O的切線,切點為A,AB是圓O的弦。過點B作BC//AD,交圓O于點C,連接AC,過點C作CD//AB,交AD于點D。連接AO并延長交BC于點M,交過點C的直線于點P,且BCP=ACD。
(1)判斷直線PC與圓O的位置關系,并說明理由:
(2) 若AB=9,BC=6,求PC的長。
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【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O,點A在直線PQ上運動,點B在直線MN上運動.
(1)如圖1,已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,點A、B在運動的過程中,∠AEB的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明變化的情況;若不發(fā)生變化,試求出∠AEB的大。
(2)如圖2,已知AB不平行CD,AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,點A、B在運動的過程中,∠CED的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,試求出其值.
(3)如圖3,延長BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交于E、F,在△AEF中,如果有一個角是另一個角的3倍,試求∠ABO的度數.
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【題目】乘法公式的探究及應用.
數學活動課上,老師準備了若干個如圖1的三種紙片,A種紙片邊長為a的正方形,B種紙片是邊長為b的正方形,C種紙片長為a、寬為b的長方形,并用A種紙片一張,B種紙片一張,C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.
(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.
方法1:______;方法2:______.
(2)觀察圖2,請你寫出下列三個代數式:(a+b)2,a2+b2,ab之間的等量關系.______;
(3)類似的,請你用圖1中的三種紙片拼一個圖形驗證:
(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2
(4)根據(2)題中的等量關系,解決如下問題:
①已知:a+b=5,a2+b2=11,求ab的值;
②已知(x-2016)2+(x-2018)2=34,求(x-2017)2的值.
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【題目】某小組做“用頻率估計概率”的試驗時,統(tǒng)計了某一結果出現的頻率,繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖,則符合這一結果的試驗最有可能的是( )
A. 在“石頭、剪刀、布”的游戲中,小明隨機出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后,從中任抽一張牌的花色是紅桃
C. 暗箱中有1個紅球和2個黃球,它們只有顏色上的區(qū)別,從中任取一球是黃球
D. 擲一個質地均勻的正六面體骰子,向上的面點數是4
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【題目】黃河是中華民族的象征,被譽為母親河,黃河壺口瀑布位于我省吉縣城西45千米處,是黃河上最具氣勢的自然景觀.其落差約30米,年平均流量1010立方米/秒.若以小時作時間單位,則其年平均流量可用科學記數法表示為( 。
A. 6.06×104立方米/時 B. 3.136×106立方米/時
C. 3.636×106立方米/時 D. 36.36×105立方米/時
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點M在CD邊上,點N在正方形ABCD外部,且滿足∠CMN=90°,CM=MN.連接AN,CN,取AN的中點E,連接BE,AC,交于F點.
(1) ①依題意補全圖形;②求證:BE⊥AC.
(2)設AB=1,若點M沿著線段CD從點C運動到點D,則在該運動過程中,線段EN所掃過的面積為 (直接寫出答案).
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