Question

如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E、F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D．交⊙O于點A，延長AD與⊙0交于點C，連接BC，AF．
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；    
（2）若tan∠F=

1

2

，求cos∠ACB的值．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）連接OB，證明△POB≌△POA，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等證得∠OAP=90°，即直線PA為⊙O的切線；    
（2）連接AE，構(gòu)建直角△AEF．在該直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理可設(shè)AE=x，AF=2x，進而可得EF=

5

x；然后由面積法求得AD=

2 5

5

x，所以根據(jù)垂徑定理求得AB的長度，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理易求BC=

3 5

5

x；最后由余弦三角函數(shù)的定義求解．

解答：解：（l）證明：連接OB，
∵PB與圓O相切，
∴PB⊥OB，即∠OBP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D為AB中點，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，

AP=BP OP=OP OA=OB

，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴AP⊥OA，
則直線PA為⊙O的切線；

（2）連接AE，則∠FAE=90°．
∵tan∠F=

1

2

，
∴

AE

AF

=

1

2

，
∴可設(shè)AE=x，AF=2x，
則由勾股定理，得
EF=

AF2+AE2

=

5

x，
∵

1

2

AE•AF=

1

2

EF•AD，
∴AD=

2 5

5

x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2AD=

4 5

5

x，
∴Rt△ABC中，AC=

5

x，AB=

4 5

5

x，
∴BC=

3 5

5

x
∴cos∠ACB=

BC

AC

=

3

5

．

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．