Question

已知AM是△ABC的中線．
（1）求證：AB²+AC²=2（AM²+BM²）；
（2）若AD是高，求證：AB²-AC²=2BC•MD．

Answer 1

考點：勾股定理

專題：證明題

分析：（1）利用勾股定理得出AB²+AC²=2AM²-2DM²+BD²+CD²，進而由BD²=MC²+2MC•DM+DM²，CD²=MC²-2MC•DM+DM²，求出即可；
（2）由勾股定理可得出AB²=BD²+AD²，AC²=AD²+DC²，則AB²-AC²=BD²-DC²，由平方差公式可得出答案．

解答：解：（1）在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²①，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²②，
由①+②得：AB²+AC²=2AD²+BD²+CD²，
在Rt△ADM中，AD²=AM²-DM²，
則AB²+AC²=2AM²-2DM²+BD²+CD²，
∵AM是△ABC的BC邊上的中線，
∴BM=MC，
∴BD²=（BM+DM）²=（MC+DM）²=MC²+2MC•DM+DM²，
CD²=（MC-DM）²=MC²-2MC•DM+DM²，
∴AB²+AC²=2AM²-2DM²+MC²+2MC•DM+DM²+MC²-2MC•DM+DM²，
∴AB²+AC²=2AM²+2BM²=2（AM²+BM²）．
（2）∵AD是高，
∴△ABD和△ACD是直角三角形，
∴AB²=BD²+AD²，AC²=AD²+DC²，
∴AB²-AC²=BD²-DC²
=（BD+CD）（BD-CD）
=BC（BM+MD-CD），
∵AM是中線，
∴AB²-AC²
=BC（CM+MD-CD）
=BC（MD+MD）
=2BC•MD．

點評：本題考查了勾股定理，三角形的中線和高線的定義，以及平方差公式，需要熟練掌握．勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．