Question

20．正方形ABCD，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，過點(diǎn)F作CE的垂線交AB，CD于點(diǎn)H，G．
（1）求證：HG=CE；
（2）連接EG，作EK⊥EG交AB于點(diǎn)K，連接CK，請(qǐng)你探究∠ECK的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如1中，作HM⊥CD于M，只要證明△ECD≌△GHM即可．
（2）如圖2中，作CM⊥EK于M，只要證明∠KEC=∠CED，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得CM=CB=CD，再證明∠ECM=∠ECD，∠KCM=∠KCB即可．

解答 （1）證明：如圖1中，作HM⊥CD于M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠BCD=∠DC=90°，
∵∠B=∠BCM=∠HMC=90°，
∴四邊形HBCM是矩形，
∴EM=BC=CD，
∵HG⊥EC，
∴∠CFG=90°，
∴∠GHM+∠HGN=90°，∠HGM+∠FCG=90°，
∴∠GHM=∠ECD，
在△ECD和△GHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠HMG}\\{∠ECD=∠GHM}\\{CD=HM}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△GHM，
∴GH=EC．
（2）結(jié)論：∠KCE=45°，
理由：如圖2中，作CM⊥EK于M，
∵EF=FC，GH⊥EC，
∴GE=GC，
∴∠GEC=∠ECD，
∵∠KEF+∠GEC=90°，∠ECD+∠CED=90°，
∴∠KEC=∠CED，
∵CM⊥EK，CD⊥ED，
∴CM=CD，∵CB=CD，
∴CB=CM，
∴∠CKB=∠CKM，
∵∠MEC+∠MCE=90°，∠CED+∠ECD=90°，
∴∠ECM=∠ECD，同理∠KCM=∠KCB，
∴$∠KCE=\frac{1}{2}$（∠BCM+∠MCD）=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．