Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，6)的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，OB=OC，直線AD交x軸正半軸于點(diǎn)D，若△ABD    的面積為27．

(1)求直線AD的解析式；

(2)橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)P在AB上(不與點(diǎn)A，B重合)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交AD于點(diǎn)E，設(shè)PE的長(zhǎng)為y，求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應(yīng)的m的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使△PEF為等腰直角三角形，若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．    ，

Answer 1

過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G ,

∵A（2，6）  ∴OG=2 , AG=6     1分

∵OB=OC ∴OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB

∵∠COB=90°，∠COB+∠OBC+∠OCB=180°，

∴∠OBC=∠OCB=45°∵∠COB=∠AGB=90°∴CO∥AG

∴∠BAG =∠OCB =∠OBC= = 45°

∴BG= AG=6  ∴OB=4 ∴B(-4,0)

∵27   ∴BD=9

∴OD=5  ∴D(5,0)     1分

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b

∵A(2,6)    D(5,0) ∴  解得

∴直線AD的解析式為y=-2x+10        1分

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BD,點(diǎn)H為垂足

∠BPH=180°-∠ABO-∠PHB=45°

∴∠BPH=∠PBH    ∴PH=HB    ∵OB=4, 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m  ∴PH=HB=m+4

∵PE∥x軸  ∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為m+4         1分

∵點(diǎn)E在直線 y=-2x+10上  ∴m+4=-2x+10    x=3- ∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3-

 ∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m   ∴y=3--m=            1分

m的取值范圍為-4<m<2              1分

（3）在x軸上存在點(diǎn)F，使△PEF為等腰直角三角形，

①當(dāng)∠FPE=90°時(shí)，有PF=PE,  PF= m+4  PE=  ∴= m+4

解得m=-  此時(shí)F(-,0)           1分

②當(dāng)∠FPE=90°時(shí)，有EP=EF,  EF的長(zhǎng)等于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)  ∴EF= m+4

∴= m+4  解得m=-   點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3-=3-(-=

此時(shí)F(，0)        1分

③當(dāng)∠PFE=90°時(shí)  FP=FE, ∴∠FPE=∠FEP

∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180° ∴∠FPE=∠FEP=45°

作FR⊥PE，點(diǎn)R為垂足   ∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°

∴∠PFR=∠RPF  ∴FR=PR  同理FR=ER  ∴FR=PE     1分

∵點(diǎn)R與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同  ∴FR= m+4  ∴m+4=（）

解得m=  PR= FR= m+4=+4= 

 ∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為+=  ∴F(,0)  1分

綜上，在x軸上存在點(diǎn)F使△PEF為等腰直角三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-,0)或(，0)或(,0).