Question

如圖，等邊△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，E為AD上一點，以BE為一邊且在BE下方等邊△BEF，連接CF．
（1）求證：AE=CF；
（2）求∠ACF的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，
∵△BEF是等邊三角形，
∴EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF，
∵，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF；

（2）∵等邊△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，
∴∠BAE=30°，∠ACB=60°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=30°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°；
分析：（1）根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，再根據(jù)△BEF是等邊三角形，得出EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，從而求出∠ABE=∠CBF，最后根據(jù)SAS證出△ABE≌△CBF，即可得出AE=CF；
（2）根據(jù)△ABC是等邊三角形，AD是∠BAC的角平分線，得出∠BAE=30°，∠ACB=60°，再根據(jù)△ABE≌△CBF，得出∠BCF=∠BAE=30°，從而求出∠ACF的度數(shù)．
點評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定，關鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABE=∠CBF，掌握全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)等知識點．