Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點(diǎn)E、F、G、H分別從點(diǎn)A、B、C、D同時(shí)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)C開始沿邊CD向點(diǎn)D以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)H從點(diǎn)D開始沿邊DA向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．
（1）證明：四邊形EFGH始終是平行四邊形；
（2）是否存在某一時(shí)刻使得四邊形EFGH是矩形？若存在，求t的值；
（3）證明：三條直線AC，EG，F(xiàn)H經(jīng)過同一點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)條件可以表示出AE=2t，BE=8-2t，BF=t，CF=6-t，CG=2t，GD=8-2t，HD=t，AH=6-t，就可以得出AE=CG，BE=GD，BF=DH，CF=AH，由矩形的性質(zhì)就可以得出△HAE≌△FCG，△EBF≌△GDH，就可以得出HE=FG，EF=HG，就可以得出結(jié)論；
（2）連接EG，F(xiàn)H，作FM⊥AD于M，根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理就可以得出EF²=t²+64-32t+4t²，F(xiàn)G²=36-12t+t²+4t²，進(jìn)而得出EG²=100+10t²-44t，F(xiàn)H²=100-24t+4t²，由矩形的性質(zhì)建立方程就可以求出t的值；
（3）連接EG，F(xiàn)H，使EG與AC相交于點(diǎn)O，EG與FH相交于點(diǎn)P．由平行四邊形的性質(zhì)就可以得出EP=GP，AP=CP，就有P是EG的中點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)可以得出△AOE≌△COG，就可以得出AO=CO，EO=GO，就有O是EG的中點(diǎn)，得出P、O重合，進(jìn)而得出三條直線AC，EG，F(xiàn)H經(jīng)過同一點(diǎn)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=∠D=∠DAB=90°，AB=CD，BC=AD．
∵AE=CG=2t，BF=DH=t，
∴BE=GD=8-2t，CF=AH=6-t．
在△EBF和△GDH中，

BE=GD ∠B=∠D BF=DH

，
∴△EBF≌△GDH（SAS），
∴EF=GH．
在△HAE和△FCG中，

AH=CF ∠DAB=∠BCD AE=CG

，
∴△HAE≌△FCG（SAS），
∴HE=FG．
∵

EF=GH HE=FG

，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）解：在某一時(shí)刻四邊形EFGH是矩形．理由如下：
連接EG，F(xiàn)H，作FM⊥AD于M，
∴∠FMH=90°．
∵四邊形EFGH是矩形，
∴EG=FH，∠EFG=90°．
∴EG²=EF²+FG²．FH²=MF²+MH²．
∴FH²=100-24t+4t²．
在Rt△BEF，Rt△FCG中，由勾股定理，得，
EF²=t²+64-32t+4t²，F(xiàn)G²=36-12t+t²+4t²，
∴EF²+FG²=100+10t²-44t，
∴100+10t²-44t=100-24t+4t²．
∴t₁=0（舍去），t₂=

10

3

∴t=

10

3

時(shí)，四邊形EFGH是矩形；

（3）證明：連接EG，F(xiàn)H，使EG與AC相交于點(diǎn)O，EG與FH相交于點(diǎn)P．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠EAC=∠DCA，∠AEO=∠CGO．
在△AOE和△COG中

∠EAC=∠DCA AE=CG ∠AEO=∠CGO

，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴EO=GO，AO=CO，
∴O是EG、AC的中點(diǎn)．
∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴EP=GP，F(xiàn)P=HP，
∴P是EG、FH的中點(diǎn)，
∴O、P重合，
∴三條直線AC，EG，F(xiàn)H經(jīng)過同一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．