Question

已知如圖，矩形OABC的長(zhǎng)OA=，寬OC=1，                         
將△AOC沿AC翻折得△APC.

【小題1】求∠PCB的度數(shù)
【小題2】若P，A兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)y=－x²+bx+c上，求b，c的值，并                          說(shuō)明點(diǎn)C在此拋物線(xiàn)上；
【小題3】（2）中的拋物線(xiàn)與矩形OABC邊CB相交于點(diǎn)D，與x軸相交                         于另外一點(diǎn)E，若點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn)，N是y軸上的點(diǎn)，以點(diǎn)E、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo).

Answer 1

【小題1】∠PCB=30°
【小題2】 點(diǎn)C（0，1）滿(mǎn)足上述函數(shù)關(guān)系式，所以點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上.
【小題3】Ⅰ、若DE是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)C在y軸上，CD平行x軸，
∴過(guò)點(diǎn)D作DM∥  CE交x軸于M,則四邊形EMDC為平行四邊形，
把y=1代入拋物線(xiàn)解析式得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，1）
把y=0代入拋物線(xiàn)解析式得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）
∴M(,0);N點(diǎn)即為C點(diǎn)，坐標(biāo)是(0,1); ……9分
Ⅱ、若DE是平行四邊形的邊，
則DE=2,∠DEF=30°,
過(guò)點(diǎn)A作AN∥DE交y軸于N，四邊形DANE是平行四邊形，
∴M(,0),N(0,-1); ……11分
同理過(guò)點(diǎn)C作CM∥DE交y軸于N，四邊形CMDE是平行四邊形，
∴M(,0),N(0, 1). ……12分

解析考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．
分析：（1）根據(jù)OC、OA的長(zhǎng)，可求得∠OCA=∠ACP=60°（折疊的性質(zhì)），∠BCA=∠OAC=30°，由此可判斷出∠PCB的度數(shù)．
（2）過(guò)P作PQ⊥OA于Q，在Rt△PAQ中，易知PA=OA=3，而∠PAO=2∠PAC=60°，即可求出AQ、PQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，將P、A坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，即可得到b、c的值，從而確定拋物線(xiàn)的解析式，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可．
（3）根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式易求得C、D、E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分兩種情況考慮：
①DE是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，由于CD∥x軸，且C在y軸上，若過(guò)D作直線(xiàn)CE的平行線(xiàn)，那么此直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，而N點(diǎn)即為C點(diǎn)，D、E的坐標(biāo)已經(jīng)求得，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，而C點(diǎn)坐標(biāo)已知，即可得到N點(diǎn)的坐標(biāo)；
②DE是平行四邊形的邊，由于A在x軸上，過(guò)A作DE的平行線(xiàn)，與y軸的交點(diǎn)即為N點(diǎn)，而M點(diǎn)即為A點(diǎn)；易求得∠DEA的度數(shù)，即可得到∠NAO的度數(shù)，已知OA的長(zhǎng)，通過(guò)解直角三角形可求得ON的值，從而確定N點(diǎn)的坐標(biāo)，而M點(diǎn)與A點(diǎn)重合，其坐標(biāo)已知；
同理，由于C在y軸上，且CD∥x軸，過(guò)C作DE的平行線(xiàn)，也可找到符合條件的M、N點(diǎn)，解法同上．
解：（1）在Rt△OAC中，OA=，OC=1，則∠OAC=30°，∠OCA=60°；
根據(jù)折疊的性質(zhì)知：OA=AP=，∠ACO=∠ACP=60°；
∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，
∴∠PCB=30°．
（2）過(guò)P作PQ⊥OA于Q；

Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=；
∴OQ=AQ=，PQ=，
所以P（，）；
將P、A代入拋物線(xiàn)的解析式中，得：
，
解得；
即y=-x²+x+1；
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，故C（0，1）在拋物線(xiàn)的圖象上．
（3）①若DE是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)C在y軸上，CD平行x軸，
∴過(guò)點(diǎn)D作DM∥CE交x軸于M，則四邊形EMDC為平行四邊形，
把y=1代入拋物線(xiàn)解析式得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，1）
把y=0代入拋物線(xiàn)解析式得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-，0）
∴M（，0）；N點(diǎn)即為C點(diǎn)，坐標(biāo)是（0，1）；

②若DE是平行四邊形的邊，
過(guò)點(diǎn)A作AN∥DE交y軸于N，四邊形DANE是平行四邊形，
∴DE=AN===2，
∵tan∠EAN==，
∴∠EAN=30°，
∵∠DEA=∠EAN，
∴∠DEA=30°，
∴M（，0），N（0，-1）；
同理過(guò)點(diǎn)C作CM∥DE交y軸于N，四邊形CMDE是平行四邊形，
∴M（-，0），N（0，1）．