Question

【題目】已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC⊥BD于點(diǎn)P，OE⊥AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．

（1）求證：∠DCF=∠DAB；

（2）求證：；

（3）當(dāng)圖1中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到圓外時(shí)，即AC、BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，且∠P=90°時(shí)（如圖2所示），（2）中的結(jié)論是否成立？如果成立請(qǐng)給出你的證明，如果不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用三角形外角的性質(zhì)可以得到∠DCF＝∠CBD＋∠CDB，再根據(jù)∠CBD＝∠DAC，∠CDB＝∠CAB即可得到結(jié)論；

（2）連接AO并延長(zhǎng)交⊙O與點(diǎn)G，連接GB，利用三角形中位線的性質(zhì)即可得到 ．

（3）結(jié)論仍然成立，證明方法同（2）．

（1）證明：∵∠DCF是△BDC的外角，

∴∠DCF=∠CBD+∠CDB．

∵∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB，

∴∠DCF=∠DAB．

（2）解：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G，連接GB，

∵AG過(guò)O點(diǎn)，為圓O直徑，

∴∠ABG=90°．

∵OE⊥AB于點(diǎn)E，

∴E為AB中點(diǎn)．

∴．

∵AC⊥BD，

∴∠APD=90°．

∴∠DAP+∠ADP=90°．

∵∠BAG+∠G=90°．且∠ADP=∠G，

∴∠DAP=∠BAG．

∴CD=BG．

∴．

（3）解：（2）的結(jié)論成立．

證明：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G，連接GB，

∴∠ABG=90°．

∵OE⊥AB于點(diǎn)E，

∴E為AB中點(diǎn)．

∴．

由（2）證明可知，∠PDA=∠G，

∴∠PAD=∠BAG．

∴CD=BG．

∴．