Question

如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=4,OC=3，若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O、A兩點(diǎn)，直線AC交拋物線于點(diǎn)D。
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以點(diǎn)A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

（1）y=﹣x²+3x；（2）（1，）；（3）N₁（2，0），N₂（6，0），N₃（﹣﹣1，0），N₄（﹣1，0）．

試題分析：（1）由OA的長(zhǎng)度確定出A的坐標(biāo)，再利用對(duì)稱性得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)形式y(tǒng)=a（x-2）2+3，將A的坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求出D的坐標(biāo)；
（3）存在，分兩種情況考慮：如圖所示，當(dāng)四邊形ADMN為平行四邊形時(shí)，DM∥AN，DM=AN，由對(duì)稱性得到M（3， ），即DM=2，故AN=2，根據(jù)OA+AN求出ON的長(zhǎng)，即可確定出N的坐標(biāo)；當(dāng)四邊形ADM′N′為平行四邊形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，將y=-代入得：-=-x²+3x，求出x的值，確定出OP的長(zhǎng)，由OP+PN′求出ON′的長(zhǎng)即可確定出N′坐標(biāo)．
試題解析：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為E，根據(jù)題意OA=4，OC=3，得：E（2，3），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）²+3，
將A（4，0）坐標(biāo)代入得：0=4a+3，即a=﹣，
則拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）²+3=﹣x²+3x；
（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（4，0）與C（0，3）代入得：，
解得：，故直線AC解析式為y=﹣x+3，
與拋物線解析式聯(lián)立得：，解得：或，
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，）；
（3）存在，分兩種情況考慮：
①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，如答圖1所示：

四邊形ADMN為平行四邊形，DM∥AN，DM=AN，
由對(duì)稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，∴N₁（2，0），N₂（6，0）；
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，如答圖2所示：

過點(diǎn)D作DQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=，NP=AQ=3，將y_M=﹣代入拋物線解析式得：﹣=﹣x²+3x，
解得：x_M=2﹣或x_M=2+，∴x_N=x_M﹣3=﹣﹣1或﹣1，
∴N₃（﹣﹣1，0），N₄（﹣1，0）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N有四個(gè)：N₁（2，0），N₂（6，0），N₃（﹣﹣1，0），N₄（﹣1，0）．