Question

如圖①，已知二次函數(shù)的解析式是y=ax²+bx（a＞0），頂點(diǎn)為A（1，-1）．
（1）a=

 

；
（2）若點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動，連結(jié)OP，交對稱軸于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于頂點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為C，連接PC、OC，求證：∠PCB=∠OCB；
（3）如圖②，將拋物線沿直線y=-x作n次平移（n為正整數(shù)，n≤12），頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，…，A_n，橫坐標(biāo)依次為1，2，…，n，各拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)分別為D₁，D₂，…，D_n，以線段A_nD_n為邊向右作正方形A_nD_nE_nF_n，是否存在點(diǎn)Fn恰好落在其中的一個拋物線上，若存在，求出所有滿足條件的正方形邊長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而代入求出即可；
（2）根據(jù)題意得出

DO

CD

=

1

m

，

PH

CH

=

m-1

m2-m

=

1

m

，進(jìn)而得出△ODC∽△PHC，求出即可；
（3）由題意得出：A₁（1，-1），A₂（2，-2），A₃（3，-3），…A_n（n，-n），進(jìn)而得出F₁（2，-1），F(xiàn)₂（4，-2），F(xiàn)₃（6，-3），…F_n（2n，-n）..，即可分類討論得出n的值．

解答：（1）解：∵二次函數(shù)的解析式是y=ax²+bx（a＞0），頂點(diǎn)為A（1，-1），
∴

a+b=-1 - b 2a =1

，
解得：

a=1 b=-2

．
故答案為：1；

（2）證明：由（1）得，拋物線的解析式為：y=x²-2x，
設(shè)P（m，m²-2m），則直線OP的解析式為：y=（m-2）x，
∴B（1，m-2），∴C（1，-m），
過點(diǎn)P作PH⊥CD于點(diǎn)H，則PH=m-1，CH=m²-m，
∴

DO

CD

=

1

m

，

PH

CH

=

m-1

m2-m

=

1

m

，
∵∠ODC=∠PHC，
∴△ODC∽△PHC，
∴∠PCB=∠OCB；

（3）解：由題意得出：A₁（1，-1），A₂（2，-2），A₃（3，-3），…A_n（n，-n），
∴F₁（2，-1），F(xiàn)₂（4，-2），F(xiàn)₃（6，-3），…F_n（2n，-n）…
若F_n恰好落在其中的第m個拋物線上（m為正整數(shù)，m≤12），
則該拋物線解析式為：y=（x-m）²-m，
將F_n代入得：-n=（2n-m）²-m，
即（2n-m）²=m-n，
∴m-n是一個平方數(shù)，只能是0，1，4，9，
當(dāng)m-n=0時，2n-m=0，∴m=n=0（舍去）；
當(dāng)m-n=1時，2n-m=1或-1，∴n=2或0（舍去）；
當(dāng)m-n=4時，2n-m=2或-2，∴n=2或6；
當(dāng)m-n=9時，2n-m=3或-3，∴n=6（舍去）或12（舍去）．
綜上所述，正方形邊長n的值可以是2，6．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出m-n是一個平方數(shù)進(jìn)而分類討論得出是解題關(guān)鍵．