Question

【題目】已知：菱形ABCD，AB=4m，∠B=60°，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，沿線段BC、CD以1m/s的速度向終點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）如圖1，連接AP、AQ、PQ，試判斷△APQ的形狀，并說明理由

（2）如圖2，當(dāng)t=1.5秒時(shí)，連接AC，與PQ相交于點(diǎn)K．求AK的長(zhǎng)．

（3）如圖3，連接AC交BD于點(diǎn)O，當(dāng)P、Q分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C、D時(shí)，將∠APQ沿射線CA方向平移，使點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，然后以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心將∠APQ旋轉(zhuǎn)一定的角度，使角的兩邊分別于CD、AD交于S、K點(diǎn)，再以OS為一邊在∠SOC內(nèi)作∠SOT，使∠SOT=∠BDC，OT邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，若BT=4.8，求AK的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形，見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）如圖1，連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△ABC和△ACD是等邊三角形，得∠B=∠ACQ，AB=AC，由BP=CQ，證明△ABP≌△ACQ，得AP=AQ及∠PAQ=60°，所以△APQ為等邊三角形；

（2）由（1）△APQ是等邊三角形，由∠4=∠ 6，∠B=∠ACB，得△ABP∽△ PCK，則，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；

（3）由題意先證明△DOS∽△BTO，利用相似三角形的性質(zhì)，求出DS的長(zhǎng)度，然后△AOK∽△ CSO，即可求出AK的長(zhǎng)度．

解：（1）△APQ是等邊三角形

證明：連接AC

∵菱形ABCD

∴AB=BC

∵∠B=60°

∴△ABC是等邊三角形

∴AB=AC，①

∵P、Q分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，且速度相同

∴BP=CQ，②

∵菱形ABCD

∴120°=60°

∴∠ACQ=∠B③

由①②③得△ABP≌△ACQ

∴AP=AQ ，∠1=∠3，

∵∠1+∠2=∠BAC=120°=60°

∴∠1+∠3=60°=∠PAQ

∴△APQ是等邊三角形

（2）由（1）得△APQ是等邊三角形

∴∠APQ=60°

∴∠4+∠5=120°

∵∠ACB=60°

∴∠5+∠6=120°

∴∠4=∠ 6，

∵∠B=∠ACB=60°，

∴△ABP∽△ PCK，

∴，

∵當(dāng)t=1.5秒時(shí)，BP=1.5，

∴CP=41.5=2.5，

∴

∴，

∴；

(3) ∵菱形ABCD

∴∠BDC=∠DBC=

∵∠SOT=∠BDC

可證△DOS∽△BTO

∴

∵BC=4 ，∠BDC=∠DBC=30°

∴CO=AO=2 ，BO=DO=

∴

∴DS=2.5

∴CS=42.5=1.5

∵∠DAC=∠KOS=∠ACD

可證∴△AOK∽△ CSO

∴

∴

∴．