Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB相交于E，DE=EC，過點B的切線與AD的延長線交于F，過E作EG⊥BC于G，延長GE交AD于H（1）求證：AH=HD；（2）若cos∠C =，DF=9，求⊙O的半徑.

Answer 1

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，DE=EC，
∴AB⊥CD，∴∠C+∠CBE=90°，
∵EG⊥BC，∴∠C+∠CEG=90°，
∴∠CBE=∠CEG，
∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，
∴∠CDA=∠DEH，∴HD=EH，
∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，
∴AH=EH，∴AH=HD；
（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，∴∠BDF=90°，
∵BF是⊙O的切線，
∴∠DBF=∠C，
∵cos∠C =，DF=9，
∴tan∠DBF=    ，∴BD=DF   
tan∠DBF =12，∵∠A=∠C，
∴sin∠A=，∴AB=BD   ∴⊙O的半徑為10．