Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交于點O，線段OA，OB的中點分別為E，F(xiàn)． 
（1）求證：△FOE≌△DOC；
（2）求tan∠BOC的值；  
（3）設(shè)△AGE，△EFO，△BFH的面積分別為S₁，S₂，S₃，求S₁：S₂：S₃ 的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理,直角梯形

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得EF與AB的關(guān)系，根據(jù)ASA，可得證明的結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)，可得DK=BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠ADC的度數(shù)，根據(jù)根據(jù)角的和差，可得∠ADO的度數(shù)，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得DO與BO的關(guān)系，根據(jù)等角的正切相等，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得△AGE∽△ADE，△BFH∽△BDC，S△AGE與S△ADC的關(guān)系，S_△BFH與S_△ADC的關(guān)系，根據(jù)等底，高是

1

3

的兩個三角形，可得S_△EOF與S_△ADC的關(guān)系，根據(jù)面積的比，可得答案．

解答：（1）證明：∵EF是△OAB的中位線，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB，
∵AB∥CD，AB=2CD，
∴CD∥AB，CD=

1

2

AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
在△FOE和△DOC中，

∠OEF=∠ODC EF=CD ∠OFE=∠ODC

∴△FOE≌△DOC（ASA）；
（2）如圖：過點D作DK⊥AB，
∴BCDK是正方形，
DK=BC，BK=DC=

1

2

AB=AK，
∴∠DAB=45°，
∵CD∥AB，
∴∠ADC=135°
∵BC=CD，∠BCD=90°
∴∠BDC=45°
∴∠ADO=90°，
∵CD∥AB，
∴△DOC∽△BOA
∴

DO

BO

=

DC

AB

=

1

2

，
設(shè)DO=a，BO=2a，
∴AD=BD=3a
∴tan∠BOC=tan∠AOD=3；
（3）∵△FOE≌△DOC，
∴EO=OC，F(xiàn)O=OD，
線段OA，OB的中點分別為E，F(xiàn)
AE=

1

3

AC，F(xiàn)B=

1

3

BD，
∵EF∥AB∥CD
∴△AGE∽△ADE，△BFH∽△BDC，
∴

AE

AC

=

1

3

，

BF

BD

=

1

3

，
∴

S△AGE

S△ADC

=

1

9

，

S△BFH

S△BCD

=

1

9

，
∵△ADC與△BDC等底等高
∴S_△ADC=S_△BDC
∴S_△AGE=S_△BFH
△DOC與△ADC等底，高是

1

3

，
∴S△EOF=S△DOC=

1

3

S△ADC
∴S₁：S₂：S₃₌ 1：3：1．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，等角的正切值相等，等底等高的三角形的面積相等，稍有點難度．