在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,對角線AC與BD相交于點O,線段OA,OB的中點分別為E,F(xiàn). 
(1)求證:△FOE≌△DOC;
(2)求tan∠BOC的值;  
(3)設(shè)△AGE,△EFO,△BFH的面積分別為S1,S2,S3,求S1:S2:S3 的值.
考點:相似三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理,直角梯形
專題:
分析:(1)根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),可得EF與AB的關(guān)系,根據(jù)ASA,可得證明的結(jié)論;
(2)根據(jù)正方形的判定與性質(zhì),可得DK=BC,根據(jù)平行線的性質(zhì),可得∠ADC的度數(shù),根據(jù)根據(jù)角的和差,可得∠ADO的度數(shù),再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得DO與BO的關(guān)系,根據(jù)等角的正切相等,可得答案;
(3)根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得△AGE∽△ADE,△BFH∽△BDC,S△AGE與S△ADC的關(guān)系,S△BFH與S△ADC的關(guān)系,根據(jù)等底,高是
1
3
的兩個三角形,可得S△EOF與SADC的關(guān)系,根據(jù)面積的比,可得答案.
解答:(1)證明:∵EF是△OAB的中位線,
∴EF∥AB,EF=
1
2
AB,
∵AB∥CD,AB=2CD,
∴CD∥AB,CD=
1
2
AB,
∴EF=CD,∠OEF=∠OCD,∠OFE=∠ODC,
在△FOE和△DOC中,
∠OEF=∠ODC
EF=CD
∠OFE=∠ODC

∴△FOE≌△DOC(ASA);
(2)如圖:過點D作DK⊥AB,
∴BCDK是正方形,
DK=BC,BK=DC=
1
2
AB=AK,
∴∠DAB=45°,
∵CD∥AB,
∴∠ADC=135°
∵BC=CD,∠BCD=90°
∴∠BDC=45°
∴∠ADO=90°,
∵CD∥AB,
∴△DOC∽△BOA
DO
BO
=
DC
AB
=
1
2

設(shè)DO=a,BO=2a,
∴AD=BD=3a
∴tan∠BOC=tan∠AOD=3;
(3)∵△FOE≌△DOC,
∴EO=OC,F(xiàn)O=OD,
線段OA,OB的中點分別為E,F(xiàn)
AE=
1
3
AC,F(xiàn)B=
1
3
BD,
∵EF∥AB∥CD
∴△AGE∽△ADE,△BFH∽△BDC,
AE
AC
=
1
3
,
BF
BD
=
1
3
,
S△AGE
S△ADC
=
1
9
,
S△BFH
S△BCD
=
1
9
,
∵△ADC與△BDC等底等高
∴S△ADC=S△BDC
∴S△AGE=S△BFH
△DOC與△ADC等底,高是
1
3
,
S△EOF=S△DOC=
1
3
S△ADC

∴S1:S2:S3= 1:3:1.
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),利用了相似三角形的判定與性質(zhì),等角的正切值相等,等底等高的三角形的面積相等,稍有點難度.
練習(xí)冊系列答案
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(1)BQ+DQ的最小值是
 
.此時x的值是
 

(2)如圖2,若PQ的延長線交CD邊于點E,并且∠CQD=90°.
     ①求證:點E是CD的中點;②求x的值.
(3)若點P是射線AD上的一個動點,請直接寫出當(dāng)△CDQ為等腰三角形時x的值.

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在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,已知點F(2
3
,0),直線GF交y軸正半軸于點G,且∠GFO=30°.
(1)直接寫出點G的坐標(biāo);
(2)若⊙O的半徑為1,點P是直線GF上的動點,直線PA、PB分別約⊙O相切于點A、B.
①求切線長PB的最小值;
②問:在直線GF上是夠存在點P,使得∠APB=60°?若存在,請求出P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點M(
3
2
,
3
2
)為圓心的圓經(jīng)過原點,且與x軸、y軸分別交于A、B兩點,經(jīng)過A,B兩點的拋物線y=-x2+bx+c的頂點為N.
(1)求拋物線的解析式及點N的坐標(biāo);
(2)求直線BN的解析式,判斷BN與⊙M的位置關(guān)系,并證明;
(3)點P是x軸上一動點,點Q是拋物線上一動點.是否存在這樣的點P、Q,使以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo)(不寫求解過程);若不存在,請說明理由.

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(1)若將直線y=kx向下平移3個單位長度后,直線恰好經(jīng)過B、C兩點,求拋物線的解析式;
(2)在(1)的條件下,若P、Q兩點在圖1拋物線對稱軸上(P點在Q點上方),且∠PAQ=∠ACB,請求出其中符合條件的一組P,Q的坐標(biāo);
(3)當(dāng)AC⊥BC時,
①求a的值;
②如圖2過C點作x軸平行線,若M點為該平行線上C點右側(cè)一動點,做AM⊥MF,MF與CB或其延長線相交于F點,試判斷
MF
AM
是否為定值?若是請求出該值,若不是請說明理由.

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(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點中右側(cè)的交點為點B,若∠ABO=45°,將直線AB向下平移2個單位得到直線l,求直線l的解析式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)M(p,q)為二次函數(shù)圖象上的一個動點,當(dāng)-3<p<0時,點M關(guān)于x軸的對稱點都在直線l的下方,求m的取值范圍.

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(2)補全兩幅統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果,估算該校1000名學(xué)生中大約有多少人選擇“小組合作學(xué)習(xí)”?

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x2+3
5x-3
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