Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，D，E分別為AB，BC中點，F為AC上一點，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M．

（1）點G在BE上，且∠BDG=∠C，求證：DGCF=DMEG；

（2）在圖中，取CE上一點H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1.

【解析】試題分析：（1）先判斷出四邊形DEFM是平行四邊形，得到DM=EF，由D、E分別是AB、BC的中點，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根據等式性質得∠FEC=∠GDE，根據有兩對對應角相等的兩三角形相似可證代換，即可；

（2）通過證明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BGBE=EHEC，又BE=EC，所以EH=BG=1．

試題解析：（1）證明：如圖1所示，∴D，E分別為AB，BC中點，∴DE∥AC．

∵DM∥EF，∴四邊形DEFM是平行四邊形，∴DM=EF．如圖2所示，∵D、E分別是AB、BC的中點，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C．∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC．∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF，

∴DG：EF=EG：CF，∴DG：DM=EG：CF，∴DG：EG=DM：CF，∴DGCF=DMEG；

（2）解：如圖3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴BD：BE=BG：BD，∴BD2=BGBE．∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH．又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴EH：EF=EF：EC，∴EF2=EHEC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四邊形DEFM是平行四邊形，∴EF=DM=DA=BD，∴BGBE=EHEC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．