Question

【題目】某藥廠銷售部門根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研結(jié)果，對(duì)該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進(jìn)行預(yù)測(cè)，并建立如下模型：設(shè)第t個(gè)月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），P與t之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其圖像是函數(shù)P＝（0＜t≤8）的圖像與線段AB的組合；設(shè)第t個(gè)月銷售該原料藥每噸的毛利潤為Q（單位：萬元），Q與t之間滿足如下關(guān)系：Q＝

（1）當(dāng)8＜t≤24時(shí)，求P關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)第t個(gè)月銷售該原料藥的月毛利潤為w（單位：萬元）

①求w關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②未來兩年內(nèi)，當(dāng)月銷售量P為時(shí)，月毛利潤為w達(dá)到最大．

Answer 1

【答案】（1）P＝t+2；（2）①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，w＝240；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，w＝2t2+12t+16；當(dāng)12＜t≤24時(shí)，w＝﹣t2+42t+88；②23

【解析】

（1）設(shè)8＜t≤24時(shí)，P＝kt＋b，將A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P＝t＋2；
（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三種情況，根據(jù)月毛利潤＝月銷量×每噸的毛利潤可得函數(shù)解析式；
②當(dāng)0＜t≤8時(shí)，w的值始終是240；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，w＝2t2＋12t＋16＝2(t＋3)22，當(dāng)t＝12時(shí)，求得w值；當(dāng)12＜t≤24時(shí)，w＝﹣t2+42t+88＝﹣(t﹣21)2+529，根據(jù)二次函數(shù)的增減性求得當(dāng)t＝21時(shí)w的值，進(jìn)而可得到結(jié)論．

解：（1）設(shè)8＜t≤24時(shí)，P＝kt+b，

將A（8，10）、B（24，26）代入，得：

解得：，

∴P＝t+2；

（2）∵w＝P·Q

∴①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，w＝(2t+8)×＝240；

當(dāng)8＜t≤12時(shí)，w＝(2t+8) (t+2)＝2t2+12t+16；

當(dāng)12＜t≤24時(shí)，w＝(﹣t+44)(t+2)＝﹣t2+42t+88；

②當(dāng)0＜t≤8時(shí)，w＝240；

當(dāng)8＜t≤12時(shí)，w＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2，

∴8＜t≤12時(shí)，w隨t的增大而增大，

當(dāng)t＝12時(shí)，w取得最大值，最大值為448，

當(dāng)12＜t≤24時(shí)，w＝﹣t2+42t+88＝﹣(t﹣21)2+529，

當(dāng)t＝21時(shí)，w取得最大值529，

∵529>448>240

∴t＝21時(shí)，w取得最大值

此時(shí)P＝t+2=23