Question

閱讀材料：在直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半．
如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中，A，B兩點坐標分別為
（3，0）和（0，3

3

）．動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO，OB，BA上運動，速度分別為1，

3

，2（單位長度/秒）．一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以

3

3

（單位長度/秒）的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點﹒設動點P與動直線l同時出發(fā)，運動時間為t秒，當點P沿折線AO-OB-BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．
請解答下列問題：
（1）過A，B兩點的直線解析式是

y=-

3

x+3

3

；
（2）當t﹦4時，點P的坐標為

（0，

3

）

；當t=

9

2

，點P與點E重合；
（3）作點P關(guān)于直線EF的對稱點P′．在運動過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？

Answer 1

分析：（1）考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)；
（2）此題要掌握點P的運動路線，要掌握點P在不同階段的運動速度，即可求得；
（3）此題需要分三種情況分析：點P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據(jù)菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點，可求的一個；當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；當點P在線段BA上時，根據(jù)對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．

解答：解：（1）設直線AB的解析式是y=ax+b（a≠0）．則

0=3a+b 3 3 =b

，
解得，

a=- 3 b=3 3

，
故直線AB的解析式為：y=-

3

x+3

3

；（4分）

（2）∵A，B兩點坐標分別為（3，0）和（0，3

3

），
∴AO=3，OB=3

3

，
∴t_AO=3÷1=3（秒），t_OB=4-3=1（秒），
∴P（0，

3

）；
根據(jù)題意知，點P與點E在OB上重合，則

OE

3 3

=

OA

1

+

OE

3

，即

OE

3 3

=3+

OE

3

，
解得，OE=

3 3

2

，
∴t=

3 3

2

÷

3

3

=

9

2

，即t=

9

2

；（4分）（各2分）

（3）①當點P在線段AO上時，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°，
∴△EOP≌△FGP（SAS），∴OP=PG，
又∵OE=FG=

3

3

t，∠A=60°，∴AG=FGtan60°=

1

3

t；
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=

2

3

t，
由3-t=

2

3

t，得
t=

9

5

；（1分）
當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；
當點P在線段BA上時，
過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2），則四邊形PMEH是矩形，
∴PM=EH．
∵四邊形PEP'F是菱形，
∴EH=FH．
∵OE=

3

3

t，∴BE=3

3

-

3

3

t，∴EF=BEtan60°=3-

t

3

∴MP=EH=

1

2

EF=

9-t

6

，又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•

1

2

=

9-t

6

，解得t=

45

7

．（1分）

點評：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，還考查了菱形的性質(zhì)與判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵要注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，還要注意答案的不唯一性．