Question

如圖是二次函數(shù)y=（x+m）²+k的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，-4）．
（1）求出圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使S_△PAB=

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S_△MAB？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)C在x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊作正方形BCDE，正方形BCDE還有一個(gè)頂點(diǎn)（除點(diǎn)B外）在拋物線上，請(qǐng)寫出滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（4）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b與此圖象至少有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出b的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)確定m、k的值，再令y=0求得圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)存在這樣的P點(diǎn)，由于底邊相同，求出△PAB的高|y|，將y求出代入二次函數(shù)表達(dá)式求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意，不妨設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)E在拋物線y=x²-2x-3上．當(dāng)BC為正方形BCDE的邊時(shí)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3），根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)相等，BC=DE列出關(guān)于m的方程，求解即可．
（4）畫出翻轉(zhuǎn)后新的函數(shù)圖象，由直線y=x+b確定出直線移動(dòng)的范圍，求出b的取值范圍．

解答：解：（1）∵M(jìn)（1，-4）是二次函數(shù)y=（x+m）²+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
當(dāng)x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3．
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（3，0）；

（2）在二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使S△PAB=

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4

S△MAB
設(shè)p（x，y），則S△PAB=

1

2

|AB|×|y|=2|y|，又S△MAB=

1

2

|AB|×|-4|=8，
∴2|y|=

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4

×8，即y=±5，
∵二次函數(shù)的最小值為-4，
∴y=5．
當(dāng)y=5時(shí)，x=-2或x=4．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，5）或（4，5）；

（3）不妨設(shè)點(diǎn)E在拋物線y=x²-2x-3上，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0）．
當(dāng)BC為正方形BCDE的邊時(shí)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3）．
∵四邊形BCDE是正方形，
∴BC=DE，
∴|m-3|=|m²-2m-3|，
即m-3=m²-2m-3，或m-3=-（m²-2m-3），
解得m₁=0，m₂=3，或m₁=-2，m₂=3，
當(dāng)m=3時(shí)，C點(diǎn)與B點(diǎn)重合，不合題意，舍去，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）或（-2，0），則B₁（3，4），B₂（3，-4），

（4）如圖3，依題意知，當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，翻折后的拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
與直線y=x+b與新拋物線有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，-x²+2x+3=x+b，即x²-x-3-b=0，
則△=（-1）²-4×（-3-b）=0，
解得 b=

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當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過(guò)A（-1，0）時(shí)-1+b=0，
可得b=1，
由題意可知y=x+b在y=x+1的下方．
由圖可知符合題意的b的取值范圍1≤b≤

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故答案是：1≤b≤

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點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間的距離公式，正方形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，其中（3）進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．