Question

5．已知如圖：∠ABP=∠CBP，P為BN上一點，且PD⊥BC于點D，∠BAP+∠BCP=180°，求證：AB+BC=2BD．

Answer 1

分析 過點P作PM⊥AB，垂足為點M，首先證明PM=PD，BM=BD，根據(jù)∠BAP+∠BCP=180°，且∠BAP+∠MAP=180°，求出∠PAM=∠BCP，進而利用AAS證明△PAM≌△PCD，于是得到AM=CD，進而得出AB+BC=2BD．

解答 解：過點P作PM⊥AB，垂足為點M，
∵PM⊥AB，PD⊥BC，∠ABP=∠CBP，
∴PM=PD，BM=BD，
∵∠BAP+∠BCP=180°，且∠BAP+∠MAP=180°，
∴∠PAM=∠BCP，
在△PAM和△PCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAM=∠PCD}\\{∠PMA=∠PDC=90°}\\{PM=PD}\end{array}\right.$，
∴△PAM≌△PCD，
∴AM=CD，
∴BM-AB=BC-BD，
∴BD-AB=BC-BD，
∴AB+BC=2BD．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)的知識，解答本題的關鍵是求出∠PAM=∠BCP，利用AAS證明△PAM≌△PCD，此題難度不大．