Question

6．已知△ABC為正三角形，點(diǎn)M的射線BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是射線CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點(diǎn)，如圖①②③．
（1）∠BQM等于多少度？并利用圖③證明你的結(jié)論；
（2）如圖②．若BP垂直AM于點(diǎn)P，求證：BQ=2PQ．

Answer 1

分析 （1）在圖3中，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAN=∠ACM=120°，由全等三角形的判定定理得出△ABN≌△CAM，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)垂直的定義得到∠BPQ=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠PBQ=30°，由直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 解：（1）∠BQM=60°，
理由：如圖3，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAN=∠ACM=60°，
∵BM=CN，AC=BC，
∴AN=CM，
在△ABN和△CAM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAN=∠ACM}\\{AN=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CAM，
∴∠N=∠M，
∴∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°；

（2）∵∠BQM=60°，
∵BP⊥AM，
∴∠BPQ=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BQ=2PQ．

點(diǎn)評 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意判斷出△ABN≌△CAM是解答此題的關(guān)鍵．