Question

如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF給出下列五個結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．2個
B．3個
C．4個
D．5個

Answer 1

【答案】分析：可以證明△ANP≌△FPE，即可證得①④是正確的，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷②正確；根據(jù)P的任意性可以判斷③⑤的正確性．
解答：解：延長FP交AB于點N，延長AP交EF于點M．
∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四邊形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，
∴NP=EP，
∴AN=PF
在△ANP與△FPE中，
∵，
∴△ANP≌△FPE
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP故①④正確；
△APN與△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM
∴∠PMF=∠ANP=90°
∴AP⊥EF，故②正確；
P是BD上任意一點，因而△APD是等腰三角形和PD=2EC不一定成立，故③⑤錯誤；
故正確的是：①②④．
故選B．
點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，正確證明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解決本題的關(guān)鍵．