Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O與坐標(biāo)原點重合，頂點A，C分別在坐標(biāo)軸上，頂點B的坐標(biāo)為（8，4）．過點D（0，6）和E（12，0）的直線分別與AB，BC交于點M，N．
（1）求直線DE的解析式和點M的坐標(biāo)；
（2）若反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過點M，求該反比例函數(shù)的解析式，并通過計算判斷點N是否在該函數(shù)的圖象上；
（3）若反比例函數(shù)（x＞0）的圖象與△MNB有公共點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
∵點D，E的坐標(biāo)為（0，6）、（12，0），
∴；
解得k=-，b=6；
∴y=-x+6；
∵點M在AB邊上，B（8，4），而四邊形OABC是矩形，
∴點M的縱坐標(biāo)為4；
又∵點M在直線 y=-x+6上，
∴4=-x+6；
∴x=4；
∴M（4，4）；

（2）∵（x＞0）經(jīng)過點M（4，4），
∴m=16；
∴y=；
又∵點N在BC邊上，B（8，4），
∴點N的橫坐標(biāo)為8；
∵點N在直線 y=-x+6上，
∴y=2，
∴N（8，2）
∵當(dāng)x=8，y=2
∴點N在函數(shù)y= 的圖象上；

（3）當(dāng)反比例函數(shù) （x＞0）的圖象經(jīng)過點M（4，4），N（8，2）時，m的值最小，此時m=xy=16，
當(dāng)反比例函數(shù) （x＞0）的圖象通過B（8，4）時，m的值最大，此時m=xy=32，
∴16≤m≤32．
分析：（1）設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，直接把點D，E代入解析式利用待定系數(shù)法即可求得直線DE的解析式，先根據(jù)矩形的性質(zhì)求得點M的縱坐標(biāo)，再代入一次函數(shù)解析式求得其橫坐標(biāo)即可；
（2）利用點M求得反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)求得點N的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式判斷是否成立即可；
（3）滿足條件的最內(nèi)的雙曲線的m=16外的雙曲線的m=32，以可得其取值范圍．
點評：此題綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強，注意反比例函數(shù)上的點與反比例函數(shù)的k值之間的關(guān)系，并會根據(jù)函數(shù)解析式和點的坐標(biāo)驗證某個點是否在函數(shù)圖象上．