Question

7．如圖，在平面直角坐標系xOy中．拋物線y=mx²-2mx-3m（m＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)）．
（1）點A的坐標為（-1，0）拋物線的對稱軸為x=1
（2）經(jīng)過點A的直線l：y=kx+b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D．且AD=5AC．
①求直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含m的式子表示）；
②設P是拋物線的對稱軸上的一點．點Q在拋物線上．以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點p的坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設y=0即可求出的A坐標，根據(jù)對稱軸x=-$\frac{2a}$可以求出對稱軸．
（2）①如圖1，作DF⊥x軸于F，由DF∥OC得$\frac{OF}{OA}=\frac{CD}{AC}$=4，可以求出點D坐標，由A、D坐標可以求出直線AD．
②分兩種情形討論即：Ⅰ若AD是矩形的一條邊，利用勾股定理列出方程解決；Ⅱ如圖3中，若AD是矩形的一條對角線，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）令y=0，則mx²-2mx-3m=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∵點A在點B的左側(cè)，
∴A（-1，0），對稱軸x=-$\frac{-2m}{2m}$=1，
故答案分別為A（-1，0），x=1．
（2）①如圖1，作DF⊥x軸于F，
∴DF∥OC，
∴$\frac{OF}{OA}=\frac{CD}{AC}$，
∵AD=5AC，
∴$\frac{OF}{OA}$=$\frac{DC}{AC}$=4，
∵OA=1，
∴OF=4，
∴D點的橫坐標為4，
代入y=mx²-2mx-3m得，y=5m，
∴D（4，5m），
把A、D坐標代入y=kx+b得到$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{4k+b=5m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=m}\\{b=m}\end{array}\right.$，
∴直線l的函數(shù)表達式為y=mx+m．
②Ⅰ若AD是矩形的一條邊，
由AQ∥DP知x_D-x_P=x_A-x_Q，可知Q點橫坐標為-4，將x=-4代入拋物線方程得Q（-4，21m），
y_P=y_D+y_Q=5m+21m=26m，則P（1，26m），
∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP=90°，
∴AD²+PD²=AP²，
∵AD²=[4-（-1）]²+（5m）²=5²+（5m）²，
PD²=[1-4]²+（26m-5m）²=3²+（21m）²，
PA²=（1+1）²+（26m）²
∴5²+（5m）²+3²+（21m）²=2²+（26m）²
∴m²=$\frac{1}{7}$，∵m＜0，∴m=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴P（1，-$\frac{26\sqrt{7}}{7}$）．
Ⅱ如圖3中，若AD是矩形的一條對角線，則線段AD的中點坐標為（$\frac{3}{2}$，2.5m），點P的橫坐標為1，則Q（2，-3m），由AQ²+QD²=AD²，得到3²+（3m）²+2²+（8m）²=5²+（5m）²，
解得m²=$\frac{1}{4}$，∵m＜0，
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∴點P坐標（1，-4）
綜上所述點P（1，-$\frac{26\sqrt{7}}{7}$）或（1，-4）．

點評 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識，一次函數(shù)的有關(guān)知識，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學會分類討論的思想，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．