Question

已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，P為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線交直線BT于E，交直線AC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，（如圖1）求證：PA•PB=PE•PF．
（2）在圖2中畫(huà)出當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證 PA•PB=PE•PF，即證

PA

PE

=

PF

PB

．證明線段所在的△PAF與△PEB相似即可．根據(jù)弦切角定理有∠PBE=∠C；根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠C=∠PFA．所以∠PBE=∠PFA．運(yùn)用“有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”得證；
 （2）根據(jù)題意作圖，仿（1）證明．

解答：（1）證明：∵BT為切線，BA為弦．
∴∠ABE=∠C，∠APF=∠EPB．
又∵EF∥BC，
∴∠C=∠AFP，∴∠ABE=∠AFP．
∴△APF∽△EPB，
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
即PA•PB=PE•PF．

（2）

結(jié)論仍然成立．
證明：∵BT為切線，BC為弦，
∴∠CBE=∠A．
∵PF∥BC，
∴∠CBE=∠PEB．
∴∠PEB=∠A．
又∠EPB=∠APF，
∴△APF∽△EPB，
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
即PA•PB=PE•PF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查弦切角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，難度中等．證明等積式常變形為比例式，轉(zhuǎn)證線段所在的三角形相似．