Question

如圖，在?ABCD中，對角線BD⊥AB，G為BD延長線上一點且△CBG為等邊三角形，∠BCD、∠ABD的角平分線相交于點E，連接CE交BD于點F，連接GE．
（1）若CG的長為8，求?ABCD的面積；
（2）求證：CE=BE+GE．

Answer 1

（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∵AB⊥DB，
∴CD⊥BD，
∵△BGC是等邊三角形，
∴BG=BC=CG=8，
∴GD=DB=BG=4（三線合一定理），
在Rt△GDC中，由勾股定理得：CD==4，
∴平行四邊形ABCD的面積是CD×BD=4×4=16；

（2）證明：∵△BCG為等邊三角形，
∴∠GBC=∠BGC=∠GCB=60°，
∵BD⊥DC，
∴∠BCD=30°．
∵EC是∠BCD的平分線，
∴∠BCE=∠DCE=15°．
∵BE是∠ABD的平分線，∠ABD=90°，
∴∠EBD=45°，∠EBC=45°+60°=105°．
則∠BEC=180°-105°-15°=60°，
∴∠BEC=∠FBC，
∵∠BCF=∠BCE，
∴△CFB∽△CBE，
∴=，
∵∠GCE=60°-15°=45°=∠EBF，∠BFE=∠GFC，
∴△BFE∽△CFG，
∴=，
∵∠EFG=∠BFC，
∴△EFG∽△BFC
∴∠GEF=∠CBF=60°，而∠BGC=60°，
∴△CGF∽△CEG，
∴=，
∴+=+，
∵△BCG為等邊三角形，
∴BC=CG=BG=BF+FG
∴=1，
∴CE=BE+GE．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出CD⊥BD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出GC=BC，推出BD=DQ，根據(jù)勾股定理求出DC，根據(jù)面積公式求出即可；
（2）證△CFB∽△CBE，推出=，證△BFE∽△CFG，推出=，證△CGF∽△CEG，推出=，得出+=+，根據(jù)BC=CG=BG=BF+FG推出=1即可．
點評：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點的綜合運用，本題綜合性比較強，難度偏大．